知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3，且对任意的正整数n，都有S_n+1=λS_n+3ⁿ⁺¹，其中常数λ＞0．设b_n=
an
3n
（n∈N^*）﹒
（1）若λ=3，求数列{b_n}的通项公式；
（2）若λ≠1且λ≠3，设c_n=a_n+
2
λ-3
×3n（n∈N^*），证明数列{c_n}是等比数列；
（3）若对任意的正整数n，都有b_n≤3，求实数λ的取值范围．

难度：较难

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2．（2016•温州一模）如图，已知曲线C₁：y=
2x
x+1
（x＞0）及曲线C₂：y=
1
3x
（x＞0），C₁上的点P₁的横坐标为a₁（0＜a₁＜
1
2
）．从C₁上的点P_n（n∈N₊）作直线平行于x轴，交曲线C₂于点Q_n，再从点Q_n作直线平行于y轴，交曲线C₁于点P_n+1．点P_n（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{a_n}
（Ⅰ）试求a_n+1与a_n之间的关系，并证明：a_2n-1＜
1
2
＜a2n(n∈N+)；
（Ⅱ）若a₁=
1
3
，求证：|a₂-a₁|+|a₃-a₂|+…+|a_n+1-a_n|＜
4
3
(n∈N+)．

难度：较难

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3．设数列{a_n}是公差为d的等差数列．
（Ⅰ）推导{a_n}的前n项和S_n公式；
（Ⅱ）证明数列{
Sn
n
}是等差数列．

难度：中等

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4．已知数列{a_n}，{b_n}，其中a₁=l，a_n=
1
bn
+
1
2
，
4
bn+1bn
=
6
bn+1
-
3
bn
，（n∈N^* ）
（1）求证：数列{b_n-
4
3
}是等比数列；
（2）求数列{b_n}的通项公式及数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{
Sn
n
}是首项为0，公差为
1
2
的等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=
4
15
•（-2） an（n∈N^*），对任意的正整数k，将集合{b_2k-1，b_2k，b_2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为d_k，求证：数列{d_k}为等比数列．

难度：中等

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6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=3a_n-2n．
（I）证明：数列{a_n+1}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和．

难度：中等

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7．设数列{a_n}满足a₁=a，a₂=b，2a_n+2=a_n+1+a_n．
（1）设b_n=a_n+1-a_n，证明：若a≠b，则{b_n}是等比数列；
（2）若
lim
n→∞
(a1+a2+…+an)=4，求a，b的值．

难度：中等

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8．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的n∈N，有a_n+S_n=n，设b_n=a_n-1，求证：数列{b_n}是等比数列．

难度：中等

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9．在数列{a_n}中，已知a₁=2，a_n+1=
an
an+3
，设b_n=
1
an
+
1
2
．
（1）证明数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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10．己知数列{a_n}和致列{b_n}满足a₁=m，a_n+1=λa_n+n，b_n=a_n-
2n
3
+
4
9
．
（Ⅰ）当m=1时，求证：对于任意的实数λ，{a_n}一定不是等差数列；
（Ⅱ）当λ=-
1
2
，m≠
2
9
时，判断{b_n}是否为等比数列；
（Ⅲ）设S_n为数列{b_n}的前项和，在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数m，使得对任意的正整数n，都有
1
3
≤S_n≤
2
3
？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

难度：中等

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