知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}的首项a₁=1，a₂=3，前n项和为S_n，且S_n+1，S_n，S_n-1（n＞1）分布是直线l上的点A，B，C的横坐标，
AB
=
2an+1
an
BC
，设b₁=1，b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n．
（1）判断数列{a_n+1}是否为等比数列，并证明你的结论；
（2）设Cn=
4
bn+1-1
n+1
anan+1
，证明：C₁+C₂+C₃+…+C_n＜1．

难度：中等

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2．已知数列{a_n}的前n项和S_n=
1
3
（a_n-1）（n∈N^*），试判断数列{a_n}是否为等比数列．

难度：中等

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3．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=
5
2
-
1
an
，b_n=
1
an-2
．求证：数列{b_n+
2
3
}是等比数列．

难度：中等

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4．已知数列{a_n}满足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1 （n≥2）
（1）求证：{a_n+1+2a_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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5．（1）已知{a_n}是项数相同的等比数列，求证：{a_n²}也是等比数列；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n+S_n=n，c_n=a_n-1，求证：数列{c_n}是等比数列．

难度：较易

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6．在数列{a_n}中，a₁=1，na_n+1=（n+2）S_n．
（1）求证：{
Sn
n
}等比数列；
（2）b₁=
1
2
，
bn+1
n+1
=
bn+Sn
n
，求数列{b_n}的通项公式．

难度：中等

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7．数列{a_n}中，S_n=1+ka_n（k≠0，k≠1）．
（1）证明：数列{a_n}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）当k=-1时，求和a₁²+a₂²+…+a_n²．

难度：中等

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8．已知数列{a_n}中，a₁=2，2a_n-a_n-1-1=0（n≥2）．
（1）判断数列{a_n-1}是否为等比数列？并说明理由；
（2）求a_n．

难度：中等

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9．数列{a_n}、{b_n}满足a₁=1，a₂=12，a_n+1=6a_n-9a_n-1（n≥2，n∈N^*），b_n=a_n+1-3a_n（n∈N^*）．
（1）求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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10．若数列{a_n}满足a₁=1，S_n+1=2a_n+1（n∈N₊），判断数列{a_n}是不是等比数列．

难度：中等

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