知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设数列{a_n}的所有项都是正数，前n项和为S_n，已知点P_n（a_n，S_n）（n∈N⁺）在一次函数y=kx+b的图象上，其中k为大于1的常数．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）已知a₁+a₆=66，a₂a₅=128，求b的值．

难度：中等

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2．设{a_n}的公比q的等比数列．
（1）推导{a_n}的前n项和公式；
（2）设q≠1，证明数列{a_n+1}不是等比数列．

难度：中等

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3．已知数列{a_n}的首项a1=
2
3
，an+1=
2an
an+1
，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）证明：数列{
1
an
-1}是等比数列；
（Ⅱ）数列 {
2n
an
}的前n项和S_n．

难度：中等

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4．已知S_n是数列{a_n}的前n项和，且S_n=2a_n-2n对n∈N^*成立，
（1）证明数列{a_n+2}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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5．若数列{a_n}中，a₁=
1
3
，a_n+1=
n+1
3n
a_n
（Ⅰ）证明：{
an
n
}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若{a_n}的前n项和为S_n，求证S_n＜
3
4
．

难度：中等

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6．已知数列{a_n}满足a1=
7
6
，an+1=
1
2
an+
1
3
，
（1）当an≠
2
3
时，求证{an-
2
3
}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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7．数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n+a_n=-
1
2
n²-
3
2
n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）设b_n=a_n+n，证明：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{（2n-3）b_n}的前n项和T_n，并证明T_n∈[-
1
2
，1)．

难度：较难

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8．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为．
①若A，B为互斥事件，则P（A）+P（B）≤1；②若b²=ac，则a，b，c成等比数列；
③经过两个不同的点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）的直线都可以用方程（y-y₁）（x₂-x₁）=（x-x₁）（y₂-y₁）来表示；
④若函数f（x）对一切x∈R满足：|f（x）=|f（-x）||，则函数f（x）为奇函数或偶函数；
⑤若函数f（x）=|log₂x|-（
1
2
）^x有两个不同的零点x₁，x₂，则x₁•x₂＜1．

难度：较难

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9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=10，a_n+1=9S_n+10．
（Ⅰ）求证：{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）设b_n=
2
(lgan)(lgan+1)
，求数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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10．已知数列{a_n}与{b_n}满足：a₁=1，b_n=
3+(-1)n
2
且a_nb_n+1+a_n+1b_n=1+（-2）ⁿ，
（1）求a₂，a₃的值：
（2）令c_k=a_2k+1-a_2k-1，k∈N^*，证明：{c_k}是等比数列．

难度：中等

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