知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设f_k（n）为关于n的k（k∈N）次多项式．数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n．对于任意的正整数n，a_n+S_n=f_k（n）都成立．
（I）若k=0，求证：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）试确定所有的自然数k，使得数列{a_n}能成等差数列．

难度：较难

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2．已知数列{a_n}满足a₁=1，且a_n+1=2a_n+3（n∈N⁺）
（1）设b_n=a_n+3（n∈N⁺），求证{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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3．设m个正数a₁，a₂，…，a_m（m≥4，m∈N^*）依次围成一个圆圈．其中a₁，a₂，a₃，…，a_k-1，a_k（k＜m，k∈N*）是公差为d的等差数列，而a₁，a_m，a_m-1，…，a_k+1，a_k是公比为q的等比数列．
（1）若a₁=d=1，q=2，k=8，求数列a₁，a₂，…，a_m的所有项的和S_m；
（2）若a₁=d=q=3，m＜2015，求m的最大值；
（3）当q=2时是否存在正整数k，满足a₁+a₂+…+a_k-1+a_k=3（a_k+1+a_k+2+…+a_m-1+a_m）？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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4．已知数列{a_n}满足a₁=
3
2
，且a_n+1=3a_n-1，b_n=a_n-
1
2
．
（1）求证：数列{b_n}是等比数列．
（2）若不等式
bn+1
bn+1-1
≤m对∀n∈N^*恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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5．设k，b均为非零常数，给出如下三个条件：
①{a_n}与{ka_n+b}均为等比数列；
②{a_n}为等差数列，{ka_n+b}为等比数列；
③{a_n}为等比数列，{ka_n+b}为等差数列；
其中一定能推导出数列{a_n}为常数列的是．（填上所有满足要求的条件的序号）

难度：中等

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6．已知数列{a_n}，S_n是其前n项的且满足3an=2Sn+n(n∈N*)
（I）求证：数列{an+
1
2
}为等比数列；
（Ⅱ）记{（-1）ⁿS_n}的前n项和为T_n，求T_n的表达式．

难度：中等

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7．已知数列{a_n}前n项和S_n满足S_n+1=a₂S_n+a₁，其中a₂≠0．
（Ⅰ）求证数列{a_n}是首项为1的等比数列；
（Ⅱ）当a₂=2时，是否存在等差数列{b_n}，使得a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2对一切n∈N^*都成立？若存在，求出b_n；若不存在，说明理由．

难度：中等

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8．已知
i
，
j
分别是x轴，y轴方向上的单位向量，
OA1
=
j
，
OA2
=10
j
，且
An-1An
=3
AnAn+1
(n=2，3，4，…)，在射线y=x（x≥0）上从下到上依次有点Bi=（i=1，2，3，…），
OB1
=3
i
+3
j
且|
Bn-1Bn
|=2
2
（n=2，3，4…）．
（Ⅰ）求
A4A5
；
（Ⅱ）求
OAn
，
OBn
；
（III）求四边形A_nA_n+1B_n+1B_n面积的最大值．

难度：较难

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