知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知等差数列{a_n}满足a₂=0，a₆+a₈=-10．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）求数列{
an
2n-1
}的前n项和T_n．

难度：中等

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2．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足4a_n-3S_n=2，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等比数列；
（Ⅱ）设b_n=
1
2
a_n-4n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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3．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足
b1
a1
+
b2
a2
+…+
bn
an
=1-
1
2n
，n∈N^*，求{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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4．已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n满足S_n=（
an+1
2
）²（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设T_n为数列{
1
anan+1
}的前n项和，若T_n≤λa_n+1对∀n∈N^*恒成立，求实数λ的最小值．

难度：中等

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5．在公差d不为零的等差数列{a_n}中，若a₁=2，且a₃是a₁，a₉的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{
1
anan+1
}的前n项和T_n．

难度：中等

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6．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₃=15，a₃和a₅的等差中项为9
（1）求a_n及S_n
（2）令b_n=
4
an2-1
（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若对任意正整数n，都有a_n=
3
4
Sn+2．
（1）设b_n=log₂a_n，求证：数列{b_n}为等差数列；
（2）在（1）的条件下，设c_n=（-1）ⁿ⁺¹
n+1
bnbn+1
，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：
1
21
≤T_n≤
2
15
．

难度：中等

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8．已知首项为1的正项数列{a_n}满足a_n+1²+a_n²＜
5
2
an+1an，n∈N^*，S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）若a₂=
3
2
，a₃=x，a₄=4，求x的取值范围；
（2）设数列{a_n}是公比为q的等比数列，若
1
2
Sn＜S_n+1＜2S_n，n∈N^*，求q的取值范围；
（3）若a₁，a₂，…，a_k（k≥3）成等差数列，且a₁+a₂+…+a_k=120，求正整数k的最小值，以及k取最小值时相应数列a₁，a₂，…，a_k．

难度：中等

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9．已知数列{a_n}满足：a₁=
1
4
，a_n=
an-1
(-1)nan-1-2
（n≥2，n∈N^*），设b_n=
1
an
+(-1)n．
（1）求证：数列{b_n}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{
3n-2
bn
}的前n项和S_n．

难度：中等

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10．若{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）均在函数y=
3
2
x2-
1
2
x的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=
3
anan+1
，T_n是数列{b_n}的前n项和，求：使得Tn＞
m
20
对所有n∈N^*都成立的最大正整数m．

难度：中等

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