知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足
b1
a1
+
b2
a2
+…+
bn
an
=1-
1
2n
，n∈N^*，求{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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2．已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n满足S_n=（
an+1
2
）²（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设T_n为数列{
1
anan+1
}的前n项和，若T_n≤λa_n+1对∀n∈N^*恒成立，求实数λ的最小值．

难度：中等

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3．在公差d不为零的等差数列{a_n}中，若a₁=2，且a₃是a₁，a₉的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{
1
anan+1
}的前n项和T_n．

难度：中等

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4．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若对任意正整数n，都有a_n=
3
4
Sn+2．
（1）设b_n=log₂a_n，求证：数列{b_n}为等差数列；
（2）在（1）的条件下，设c_n=（-1）ⁿ⁺¹
n+1
bnbn+1
，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：
1
21
≤T_n≤
2
15
．

难度：中等

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5．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n=1-
1
an-1+1
（n≥2），则a₃= ．

难度：中等

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6．已知数列{a_n}满足a_n+1=2a_n+3•2ⁿ，a₁=2，则数列{a_n}的通项公式是．

难度：中等

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7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，向量
a
=（S_n，1），
b
=（2ⁿ-1，
1
2
），满足条件
a
∥
b
，
（1）求数列{a_n}的通项公式，
（2）设函数f（x）=（
1
2
）^x，数列{b_n}满足条件b₁=1，f（b_n+1）=
1
f(-bn-1)
．
①求数列{b_n}的通项公式，
②设c_n=
bn
an
，求数列{c_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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8．已知无穷数列{a_n}满足a_n+1=p•a_n+
q
an
（n∈N^*）．其中p，q均为非负实数且不同时为0．
（1）若p=
1
2
，q=2，且a₃=
41
20
，求a₁的值；
（2）若a₁=5，p•q=0，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）若a₁=2，q=1，且{a_n}是单调递减数列，求实数p的取值范围．

难度：较难

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9．设各项均为正数的无穷数列{a_n}，{b_n}满足：对任意n∈N^*都有2b_n=a_n+a_n+1且a_n+1²=b_n•b_n+1，
（1）求证：数列{
bn
}是等差数列；
（2）设a₁=1，a₂=2，求{a_n}和{b_n}的通项公式．

难度：中等

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10．一种计算装置，有一数据入口A和一个运算出口B，按照某种运算程序：①当从A口输入自然数1时，从B口得到
1
3
，记为f(1)=
1
3
；②当从A口输入自然数n（n≥2）时，在B口得到的结果f（n）是前一个结果f（n-1）的
2(n-1)-1
2(n-1)+3
倍．
（Ⅰ）当从A口分别输入自然数2，3，4时，从B口分别得到什么数？
（Ⅱ）根据（Ⅰ）试猜想f（n）的关系式，并用数学归纳法证明你的结论．

难度：中等

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