知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．由函数y=f（x）确定数列{a_n}，a_n=f（n），函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）能确定数列{b_n}，b_n=f^-1（n），若对于任意n∈N^*，都有b_n=a_n，则称数列{b_n}是数列{a_n}的“自反数列”．
（1）若函数f（x）=
px+1
x+1
确定数列{a_n}的自反数列为{b_n}，求a_n；
（2）已知正数数列{c_n}的前n项之和S_n=
1
2
(cn+
n
cn
)，写出S_n表达式，并证明你的结论；
（3）在（1）和（2）的条件下，d₁=2，当n≥2时，设d_n=
-1
an
S
2
n
，D_n是数列{d_n}的前n项之和，且
lim
n→∞
Dn＞log_a（1-2a）恒成立，求a的取值范围．

难度：较难

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2．数列{a_n}中，a₁=sinθ，a_n+1=a_n•cosθ（n∈N^*，sinθ，cosθ≠0），若
lim
n→∞
（a₁+a₂+…+a_n）=
3
，求θ

难度：中等

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3．已知数列{x_n}，{y_n}满足
lim
n→∞
（2x_n+y_n）=1，
lim
n→∞
（x_n-2y_n）=1，求
lim
n→∞
（x_ny_n）的值．

难度：较易

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4．设u_n=1+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
，证明数列{u_n}的极限存在．

难度：中等

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5．已知圆C_n的半径为r_n（n=1，2，3，…），它们均与大小为θ（θ为锐角）的定角∠AOB的两边OA、OB相切，且C_nC_n+1相切．又r_n+1＜r_n，r₁=1，设这些圆的面积依次为S₁，S₂，…，S_n，…，且
lim
n→∞
（S₁+S₂+…+S_n）=
9π
8
，则θ= ．

难度：较易

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6．对于整数p₁，p₂，…，p_n（n∈N^*），我们称
n
1
p1
+
1
p2
+…+
1
pn
为他们的调和平均数，已知数列{a_n}的通项公式为a_n=
n(n+1)
2n+1
，且数列的第n项a_n是数列{b_n}中的前n项的调和平均数．
（1）试求数列{b_n}的通项公式；
（2）计算
lim
x-∞
an2
bn
；
（3）求出数列{
an2
bn
}中数值最大的项和数值最小的项．

难度：中等

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7．计算：
lim
n→∞
（
1
1×3
+
1
2×4
+
1
3×5
+…+
1
n(n+2)
）

难度：中等

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8．计算：
lim
n→∞
n
i=1
1
n
•(
i
n
)2= ．

难度：较易

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9．用函数极限的定义证明下列极限：
（1）
lim
x→3
x²=9；
（2）
lim
x→1
x3-1
x2-1
=
3
2
；
（3）
lim
x→0
1-2x2
1+x2
=1；
（4）
lim
x→∞
3x2+x
x2+1
=3；
（5）
lim
x→0
1
x2+x
=∞；
（6）
lim
x→x0
x
=
x0
．

难度：中等

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10．已知数列{a_n}，a_n=（
3
2
）^n-1（cos
n-1
4
π+isin
n-1
4
π），n∈N^*．
（1）数列{a_n}是否成等比数列？请说明理由；
（2）若{a_n}的各项与复平面内的点对应，试问，能否找到这样一项，使得这一项以后的所有项在复平面内对应的点都在圆x²+y²=
9
16
的内部？若能，求出此项，若不能，请说明理由；
（3）将数列{a_n}中的实数项按原顺序排成新数列{b_n}，其前n项和为S_n，求
lim
n→∞
S_n的值．

难度：中等

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