知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)是首项为\(1\)，公差为\(2\)的等差数列，\({S}_{n} \)是它前\(n\)项和，则\( \lim\limits_{n→∞} \dfrac{{S}_{n}}{{{a}^{2}}_{n}}= \)

难度：较易

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2．
无穷等比数列\(\{a_{n}\}(n∈N^{*})\)的前\(n\)项的和是\(S_{n}\)，且\( \lim\limits_{n→∞}S_{n}= \dfrac {1}{2}\)，则首项\(a_{1}\)的取值范围是 ______ ．

难度：较易

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3．
按照如下的规律构造数表：
第一行是：\(2\)；
第二行是：\(2+1\)，\(2+3\)：即\(3\)，\(5\)；
第三行是：\(3+1\)，\(3+3\)，\(5+1\)，\(5+3\)，即：\(4\)，\(6\)，\(6\)，\(8\)，
\(…\)
\((\)即从第二行起将上一行的数的每一项各加\(1\)写出，再各项再加\(3\)写出\()\)，若第\(n\)行所有的项的和为\(a_{n}\)；
\(2\)
\(3 5\)
\(4 6 6 8\)
\(5 7 7\) \(9 7 9 9 11\)
\(…\)
\((1)\)求\(a_{3}\)，\(a_{4}\)，\(a_{5}\)；
\((2)\)试写出\(a_{n+1}\)与\(a_{n}\)的递推关系，并据此求出数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((3)\)设\(S_{n}= \dfrac {a_{3}}{a_{1}a_{2}}+ \dfrac {a_{4}}{a_{2}a_{3}}+…+ \dfrac {a_{n+2}}{a_{n}a_{n+1}}(n∈N^{*})\)，求\(S_{n}\)和\( \overset\lim{n\rightarrow \infty }S_{n}\)的值．

难度：较易

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4．
在正项等比数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}a_{3}=1\)，\(a_{2}+a_{3}= \dfrac {4}{3}\)，则\( \overset\lim{n\rightarrow \infty }(a_{1}+a_{2}+…+a_{n})=\) ______ ．

难度：较易

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5．
计算\( \lim\limits_{n→∞} \dfrac {1+2+3+…+n}{n^{2}+1}=\) ______ ．

难度：易

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6．
无穷等比数列\(\{a_{n}\}(n∈N^{*})\)的首项\(a_{1}=1\)，公比\(q= \dfrac {1}{3}\)，则前\(n\)项和\(S_{n}\)的极限\( \lim\limits_{n→∞}S_{n}=\) ______ ．

难度：较易

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7．
已知函数\(f(x)(x∈D)\)，若存在常数\(T(T > 0)\)，对任意\(x∈D\)都有\(f(x+T)=T⋅f(x)\)，则称函数\(f(x)\)为\(T\)倍周期函数
\((1)\)判断\(h(x)=x\)是否是\(T\)倍周期函数，并说明理由；
\((2)\)证明：\(g(x)=( \dfrac {1}{4})^{x}\)是\(T\)倍周期函数，且\(T\)的值是唯一的；
\((3)\)若\(f(n)(n∈N^{*})\)是\(2\)倍周期函数，\(f(1)=1\)，\(f(2)=-4\)，\(S_{n}\)表示\(f(n)\)的前\(n\) 项和，\(C_{n}= \dfrac {S_{2n}}{S_{2n-1}}\)，求\( \lim\limits_{n→∞}C_{n}\)．

难度：中等

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8．

已知数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式为\(a_{n}= \begin{cases}-n,\;n\leqslant 4 \\ \sqrt {n^{2}-4n}-n,\;n > 4\end{cases}(n∈N*)\)，则\( \lim\limits_{n→+∞}a_{n}=(\)　　\()\)

A．\(-2\)

B．\(0\)

C．\(2\)

D．不存在

难度：难

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9．
如图，记棱长为\(1\)的正方体\(C_{1}\)，以\(C_{1}\)各个面的中心为顶点的正八面体为\(C_{2}\)，以\(C_{2}\)各面的中心为顶点的正方体为\(C_{3}\)，以\(C_{3}\)各个面的中心为顶点的正八面体为\(C_{4}\)，\(…\)，以此类推得一系列的多面体\(C_{n}\)，设\(C_{n}\)的棱长为\(a_{n}\)，则数列\(\{a_{n}\}\)的各项和为 ______ ．

难度：较易

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10．
设常数\(a > 0\)，\((ax^{2}+ \dfrac {1}{ \sqrt {x}})^{4}\)展开式中\(x^{3}\)的系数为\( \dfrac {3}{2}\)，则\( \lim\limits_{n→∞}(a+a^{2}+…+a^{n})=\) ______ ．

难度：较易

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