知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知各项均为正数的等比数列{a_n}的首项a₁=2，S_n为其前n项和，若5S₁，S₃，3S₂成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，c_n=
2
bnbn+1
，记数列{c_n}的前n项和为T_n．若对于任意的n∈N^*，T_n≤λ（n+4）恒成立，求实数λ的取值范围．

难度：中等

解析收藏试题篮
2．已知等比数列{a_n}的公比q＞1，前n项和为S_n，并且满足a₂+a₃+a₄=28，a₃+2是a₂和a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_nlog
1
2
a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使S_n＞254-n•2ⁿ⁺¹成立的正整数n的最小值．

难度：中等

解析收藏试题篮

3．已知正项等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅，若存在两项a_m，a_n使得

aman

=4a₁，则

的最小值为（　　）

A．

B．

C．

D．不存在

难度：较难

解析收藏试题篮

4．已知数列{a_n}中，a₁=1，a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=
n+1
2
a_n+1
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）求数列{n²a_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）若存在n∈N^*，使得a_n≤（n+1）λ成立，求实数λ的最小值．

难度：较难

解析收藏试题篮
5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，4a_na_n-1+S_n=S_n-1+a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）证明：数列{
1
an
}是等差数列；
（2）若
an
λ
+
1
an+1
≥
1
λ
对任意整数n（n≥2）恒成立，求实数λ的取值范围．

难度：较难

解析收藏试题篮
6．已知数列{a_n}满足a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令b_n=a_na_n+2（n∈N^*），T_n=b₁+b₂+…+b_n，求证：Tn＜
3
2
．

难度：中等

解析收藏试题篮
7．已知数列{a_n}a₁=t（t为常数，t≠0且t≠1），a₂=t²，当n∈N*，n≥2时，a_n+1=（t+1）a_n-ta_n-1．
（1）求证{a_n-1-a_n}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若t=2若∀n∈N^*，A＜
1
a2-a1
+
1
a3-a2
+…+
1
an+1-an
＜B，试求实数A、B的取值范围．

难度：中等

解析收藏试题篮
8．已知曲线f（x）=
log2(x+1)
x+1
（x＞0）上有一点列P_n（x_n，y_n）（n∈N^*），点P_n在x轴上的射影是Q_n（x_n，0），且x_n=2x_n-1+1（n∈N^*），x₁=1．
（1）求数列{x_n}的通项公式；
（2）设梯形P_nQ_nQ_n+1P_n+1的面积是S_n，求证：
1
S1
+
1
2S2
+…+
1
nSn
＜4．

难度：较难

解析收藏试题篮
9．设f_n（x）=x+x²+…+xⁿ-1，x≥0，n∈N，n≥2．
（Ⅰ）求f_n′（2）；
（Ⅱ）证明：f_n（x）在（0，
2
3
）内有且仅有一个零点（记为a_n），且0＜a_n-
1
2
＜
1
3
（
2
3
）ⁿ．

难度：较难

解析收藏试题篮
10．已知数列{a_n}满足：a₁=
1
2
，a_n+1=sin（
π
2
a_n），n∈N^*
（Ⅰ）求证：0＜a_n＜a_n+1＜1；
（Ⅱ）求证：sin[
π
4
（1-a_n）]＜
1
2
；
（Ⅲ）求证：a_n≥1-
1
2
（
π
4
）^n-1．

难度：较难

解析收藏试题篮

0/40

进入组卷