知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n=2-S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃，a₄的值并写出其通项公式；
（Ⅱ）用三段论证明数列{a_n}是等比数列．

难度：较易

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2．已知：在数列{a_n}中，a₁=7，a_n+1= $%20%5Cfrac%20%7B7a_%7Bn%7D%7D%7Ba_%7Bn%7D%2B7%7D$ ，
（1）请写出这个数列的前4项，并猜想这个数列的通项公式．
（2）请证明你猜想的通项公式的正确性．

难度：难

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3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-3n（n∈N₊）．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）是否存在常数λ，使得{a_n+λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a_n，若不存在，请说明理由．

难度：易

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4．定义：二阶行列式 $%20%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%20%20a%20%26%20b%20%5C%5C%20c%20%26%20d%5Cend%7Bvmatrix%7D%20$ =ad-bc（a，b，c，d∈R）．已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2， $%20%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%20%20a_%7Bn%2B2%7D%20%26%20a_%7Bn%2B1%7D%20%5C%5C%20a_%7Bn%2B1%7D%20%26%20a_%7Bn%7D%5Cend%7Bvmatrix%7D%20$ =（-1）ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₃，a₄，a₅；
（Ⅱ）求证：a_n+2=2a_n+1+a_n（n∈N^*）
（Ⅲ）试问该数列任意两个相邻项的平方和仍然是该数列中的一个项吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．

难度：中等

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5．对于数列{a_n}，若 $a_%7B1%7D%3Da%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba%7D%28a%EF%BC%9E0%5Ctext%7B%E4%B8%94%7Da%E2%89%A01%29%EF%BC%8Ca_%7Bn%2B1%7D%3Da_%7B1%7D-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7Bn%7D%EF%BC%8E%7D$
（1）求a₂，a₂，a₄，并猜想{a_n}的表达式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．

难度：较易

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6．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n-2．
（1）求a₁，a₂，a₃并由此猜想a_n的通项公式；
（2）用数学归纳法证明{a_n}的通项公式．

难度：较易

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7．已知 $a_%7B1%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D$ ， $a_%7Bn%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Da_%7Bn-1%7D%2B2%5E%7B-n%7D$ （n≥2）计算这个数列前4项，并归纳该数列一个通项公式．

难度：易

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8．已知数列{a_n}为等差数列，数列{b_n}满足b_n=a_n+n，若b₂，b₅，b₁₁成等比数列，且b₃=a₆．
（1）求a_n，b_n；
（2）求数列{ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7Bn%7Db_%7Bn%7D%7D$ }的前n项和S_n．

难度：较易

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9． [B]已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足2S_n=4a_n+（n-4）（n+1）（n∈N⁺）．
（1）计算a₁，a₂，a₃，根据计算结果，猜想a_n的表达式（不必证明）；
（2）用数学归纳法证明你的结论．

难度：较易

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10．设数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₁=a，a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N^*．由
（Ⅰ）设b_n=S_n-3ⁿ，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a_n+1≥a_n，n∈N^*，求a的取值范围．

难度：中等

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