知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知等差数列{a_n}的公差d≠0，其前n项和为S_n，若S₉=99，且a₄，a₇，a₁₂成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若Tn=
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
，证明：Tn＜
3
4
．

难度：中等

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2．设数列{a_n}的所有项都是正数，前n项和为S_n，已知点P_n（a_n，S_n）（n∈N⁺）在一次函数y=kx+b的图象上，其中k为大于1的常数．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）已知a₁+a₆=66，a₂a₅=128，求b的值．

难度：中等

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3．当n≥2，n∈N^*时，设f（n）=（1-
1
4
）（1-
1
9
）（1-
1
16
）•…•（1-
1
n2
）．
（Ⅰ）求f（2）、f（3）、f（4）的值；
（Ⅱ）猜想f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．

难度：中等

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4．设数列{a_n}满足a1=2，an+1=
a
2
n
-nan+1，n∈N*．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）由（ 1）猜想a_n的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．

难度：中等

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5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，Sn=n2-7n (n∈N*)．
（1）求数列{a_n}通项公式，并证明{a_n}为等差数列．
（2）求当n为多大时，S_n取得最小值．

难度：中等

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6．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=
1
2an+1
（n∈N^*）．
（1）证明：数列{|a_n-
1
2
|}为单调递减数列；
（2）记S_n为数列{|a_n+1-a_n|}的前n项和，证明：S_n＜
5
3
（n∈N^*）．

难度：较难

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7． [B]已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足2S_n=4a_n+（n-4）（n+1）（n∈N⁺）．
（1）计算a₁，a₂，a₃，根据计算结果，猜想a_n的表达式（不必证明）；
（2）用数学归纳法证明你的结论．

难度：中等

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8．对于下列数的排列：
2，3，4
3，4，5，6，7
4，5，6，7，8，9，10
…
写出并证明第n行所有数的和a_n与n的关系式．

难度：中等

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9．数列{a_n}，a_n≥0，a₁=0，a_n+1²+a_n+1-1=a_n²，n∈N^*．
（1）求证：a_n＜1；
（2）求证：数列{a_n}递增；
（3）求证：
1
1+a1
+
1
(1+a1)(1+a2)
+…+
1
(1+a1)(1+a2)…(1+an)
＜3．

难度：较难

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