知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

$(1)$在等比数列$\{{{a}_{n}}\}$中，已知${{a}_{3}}=\dfrac{3}{2}$，$\{{{a}_{n}}\}$前三项和${{S}_{3}}$为$\dfrac{9}{2}$，则公比$q$的值为；

$(2)$正方体$ABCD—A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，已知点$M$为棱$CC_{1}$的中点，则异面直线$BB_{1}$与$AM$所成角的余弦值为；

$(3)$已知函数$f(x)=\sin x+2\cos x$在$x=\beta $时取得最大值，则$\sin \beta =$ ；

$(4)$如图所示：$A$、$B$、$C$是圆$O$上的三点，$CO$的延长线与线段$BA$的延长线交于圆$O$外的点$D$，若$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，则$m+n$的取值范围是。

难度：难

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2．已知 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ 、 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么 $%7C%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D%7C$ =（　　）

A．3

B．2

C．4

D． $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$

难度：易

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3．
$(1)$不等式${|}2{-}3x{|} \geqslant 4$的解集为______ ．

$(2)$双曲线$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}{-}\dfrac{y^{2}}{9}{=}1(a{ > }0)$的一条渐近线方程为$y{=}\dfrac{3}{5}x$，则$a{=}$ ______ ．

$(3)$点$P$是椭圆$\dfrac{x^{2}}{16}{+}\dfrac{y^{2}}{9}{=}1$上一点，$F_{1}$，$F_{2}$分别是椭圆的左、右焦点，若${|}PF_{1}{||}PF_{2}{|=}12$，则${∠}F_{1}PF_{2}$的大小______ ．

$(4)$已知椭圆$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}{+}\dfrac{y^{2}}{b^{2}}{=}1(a{ > }b{ > }0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$，$F_{2}$，过$F_{1}$且与$x$轴垂直的直线交椭圆于$A$、$B$两点，直线$AF_{2}$与椭圆的另一个交点为$C$，若$\overrightarrow{AF_{2}}{+}2\overrightarrow{CF_{2}}{=}\overset{{→}}{0}$，则椭圆的离心率为______ ．

难度：中等

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4．

如图，空间四边形$OABC$中，点$M$，$N$分别$OA$，$BC$上，$OM=2MA$，$BN=CN$，则$ \overrightarrow{MN} = ($ $)$

A．$ \dfrac{1}{2} \overrightarrow{OA}- \dfrac{2}{3} \overrightarrow{OB}+ \dfrac{1}{2} \overrightarrow{OC} $

B．$- \dfrac{2}{3} \overrightarrow{OA}+ \dfrac{1}{2} \overrightarrow{OB}+ \dfrac{1}{2} \overrightarrow{OC} $

C．$ \dfrac{1}{2} \overrightarrow{OA}+ \dfrac{1}{2} \overrightarrow{OB}- \dfrac{1}{2} \overrightarrow{OC} $

D．$ \dfrac{2}{3} \overrightarrow{OA}+ \dfrac{2}{3} \overrightarrow{OB}- \dfrac{1}{2} \overrightarrow{OC} $

难度：较易

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5．如图，四面体$OABC$中，$ \overrightarrow{OA}= \overrightarrow{a}$，$ \overrightarrow{OB}= \overrightarrow{b}$，$ \overrightarrow{OC}= \overrightarrow{c}$，点$M$在$OA$上，且$OM=2MA$，$N$为$BC$的中点，$ \overrightarrow{MN}=x \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}+z \overrightarrow{c}$，则$x+y+z=$ ______ ．

难度：易

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6．
$(1)$已知$|z|=1$，则$|z-1+\sqrt{3}i|$的取值范围是________．
$(2)$如图甲，在$\triangle ABC$中，$AB⊥AC$，$AD⊥BC$，$D$为垂足，则$A{{B}^{2}}=BD\cdot BC$，该结论称为射影定理如图乙，在三棱锥$A-BCD$中，$AD⊥$平面$ABC$，$AO⊥$平面$BCD$，$O$为垂足，且$O$在$\triangle BCD$内，类比射影定理，探究$S_{\triangle ABC}$、$S_{\triangle BCO}$、$S_{\triangle BCD}$这三者之间满足的关是________．

$(3)$定积分$\int_{0}^{1}{(2+\sqrt{1-{{x}^{2}}})dx=}$________．

$(4)$直线$l$交椭圆$\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+{{y}^{2}}=1$于$A$，$B$两点，若线段$AB$的中点坐标为$(1,\dfrac{1}{2})$，则直线$l$的方程为________．

难度：较难

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7．

在$\Delta ABC$中，$P,Q$分别在$AB,BC$上，且$\overrightarrow{AP}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BQ}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，若$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{PQ}=($ $)$

A． $\dfrac{1}{3}\overrightarrow{a}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{b}$

B．$-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{a}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{b}$

C．$\dfrac{1}{3}\overrightarrow{a}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{b}$

D．$-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{a}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{b}$

难度：中等

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8．若$| \overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b}|=| \overrightarrow{a}- \overrightarrow{b}|=2| \overrightarrow{a}|$，则向量$ \overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b}$与$ \overrightarrow{a}$的夹角为$($　　$)$

A．$ \dfrac {\pi }{6}$

B．$ \dfrac {\pi }{3}$

C．$ \dfrac {2\pi }{3}$

D．$ \dfrac {5\pi }{6}$

难度：易

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9．如图，$\triangle ABC$中，$ \dfrac {CD}{DA}= \dfrac {AE}{EB}= \dfrac {1}{2}$，记$ \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{a,} \overrightarrow{CA}= \overrightarrow{b}$则$ \overrightarrow{DE}=$ ______ $.($用$ \overrightarrow{a}$和$ \overrightarrow{b}$表示$)$

难度：易

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10．在平行四边形$ABCD$中，$AB=4$，$AD=3$，$∠DAB= \dfrac {π}{3}$，点$E$在$BC$上，且$ \overrightarrow{BE}=2 \overrightarrow{EC}$，$F$为$CD$边的中点，则$ \overrightarrow{AE}⋅ \overrightarrow{BF}=($　　$)$

A．$- \dfrac {8}{3}$．

B．$-1$

C．$1$

D．$2$

难度：较易

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