知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知
a
，
b
的夹角为120°，|
a
|=2，|
b
|=3，记|
m
=3
a
-2
b
，
n
=2
a
+k
b
．
（1）若
m
⊥
n
，求实数k的值．
（2）是否存在实数k，使得
m
∥
n
？说明理由．

难度：中等

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2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=c，∠A的平分线为AD，若
AB
•
AD
=m
AB
•
AC

（1）当m=2时，求cosA的值；
（2）当
a
b
∈(1，
2
3
3
)时，求实数m的取值范围．

难度：中等

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3．已知向量
a
=（sinx，cos（π-x）），
b
=（2cosx，2cosx），函数f（x）=
a
•
b
+1．
（Ⅰ）求f(-
π
4
)的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）求f（x）在[0，
π
2
]上的最大值和最小值，并求出相应的x的值．

难度：中等

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4．设向量
a
=（sinx-1，1），
b
=（sinx+3，1），
c
=（-1，-2），
d
=（k，1），k∈R．
（Ⅰ）若x∈[-
π
2
，
π
2
]，且
a
∥（
b
+
c
），求x的值；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得（
a
+
d
）⊥（
b
+
c
），求k的取值范围．

难度：中等

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5．已知向量
a
=(
3
cosx，cosx），
b
=（0，sinx），
c
=（sinx，cosx），
d
=（sinx，sinx）．
（Ⅰ）当x=
π
4
时，求向量
a
、
b
的夹角；
（Ⅱ）当x∈[0，
π
2
]时，求
c
•
d
的最大值．

难度：中等

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6．已知向量
a
=（sinx，
1
2
），
b
=（cosx，-1），
（1）当
a
⊥
b
时，求x的值；
（2）求f（x）=（
a
+
b
）•
b
在[-
π
2
，0]上的最大值与最小值．

难度：中等

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7．已知向量
a
=（0，-1，1），
b
=（2，2，1），计算：
（1）|
a
|，|
b
|，|-3
a
|，|2
a
-
b
|；
（2）cos＜
a
-
b
＞；
（3）2
a
-
b
在-3
a
上的投影．

难度：中等

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8．在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，1），C（2，5），求：
（1）2
AB
+
AC
的模；
（2）cos∠BAC．

难度：中等

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9．设函数f（x）=
1
x+1
，点A₀表示坐标原点，点A_n（n，f（n））（n∈N^*）．若向量a_n=
A0A1
+
A1A2
+…+
AN-1An
，θ_n是a_n与i的夹角（其中i=（1，0）），则tanθ_n= ．

难度：较易

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10．已知二次函数y=
1
3
x²+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且A（-1，0），C（0，-1），点Q在y轴上，点P在抛物线上，若PQAC为顶点的四边形平行四边形，请直接写P点坐标．

难度：中等

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