知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设
a
=(
2
，m)（m＞0），
b
=(sinx，cosx)，且函数f(x)=
a
•
b
的最大值为2．
（1）求m与函数f（x）的最小正周期；
（2）△A BC中，f(A-
π
4
)+f(B-
π
4
)=12
2
sinAsinB，角 A、B、C所对的边分别是a、b、c，且C=
π
3
，c=
6
，求△ABC的面积．

难度：中等

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2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（c-
2
a）
BA
•
BC
=c
AC
•
CB
．
（1）求角B的大小；
（2）若|
BA
-
BC
|=
3
，求△ABC面积的最大值．

难度：较难

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3．已知A、B、C是直线l上的不同的三点，O是直线外一点，设
OC
=λ
OA
+μ
OB
．
（1）证明：A、B、C三点共线的条件是λ+μ=1
（2）若
OA
=(3x+1)•
OB
+(
3
2+3x
-y)•
OC
成立．记y=f（x），求函数y=f（x）的解析式；
（3）在（2）的条件下，若对任意x∈[
1
6
，
1
3
]，不等式|a-lnx|-ln[f（x）-3x]＞0恒成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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4．已知
m
=(-2sinx，cosx)，
n
=（cosx，2sin（x+
π
2
）），且函数f（x）=
m
•
n
+1
（1）求方程f（x）-1=0在（0，π）内有两个零点x₁，x₂，并求f（x₁+x₂）的值；
（2）若把函数y=f（x）的图象向左平移
π
3
个单位，再向上平移2个单位，得函数g（x）图象，求函数g（x）的单调增区间．

难度：中等

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5．已知向量
m
，
n
的夹角为60°，且|
m
|=1，|
n
|=2，又
a
=2
m
+
n
，
b
=-3
m
+
n

（Ⅰ）求
a
与
b
的夹角的余弦；
（Ⅱ）设
c
=t
a
-
b
，
d
=
m
-
n
，若
c
⊥
d
，求实数t的值．

难度：中等

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6．已知圆M过E（1，-1），F（-1，1）两点，且圆心在x+y-2=0上，
（1）求圆M的方程；
（2）若过点（-2，2）的直线被圆M所截得得弦长为2
3
，求该直线的方程；
（3）若P为直线3x+4y+8=0上的动点，过P做圆M的切线，切点为A，B，求当
|PA|
的最小值，并求此时
PA
•
PB
的值．

难度：较难

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7．设坐标平面上全部向量集合为A，已知由A到A的映射f由f（x）=x-2（x•
a
）
a
确定，其中x∈A，
a
=（cosθ，sinθ），θ∈R．
（1）当θ的取值范围变化时，f[f（x）]是否变化？试说明你的理由；
（2）若|
m
|=
5
，|
n
|=
5
2
，f[f（
m
+2
n
）]与f（f（2
m
-
n
）]垂直，求
m
与
n
的夹角．

难度：中等

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8．已知向量
a
，
b
，
c
，
d
及实数x，y，且|
a
|=1，|
b
|=1，
c
=
a
+（x²-3）
b
，
d
=-y
a
+x
b
，如果
a
⊥
b
，
c
⊥
d
，且|
c
|≤
10
．
（1）求x，y的函数关系式y=f（x）及定义域；
（2）判断f（x）的单调性，指出单调区间，并求出函数的最大值、最小值．

难度：中等

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9． △ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，BC边上的高为AD．
（Ⅰ）若|
AD
|=1，求
AB
•
AD
的值；
（Ⅱ）若b=c，
AB
•
AD
=m
AB
•
AC
，当
a
b
∈（
3
，2）时，求实数m的取值范围．

难度：中等

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10．已知3
OA
+2
OB
=（13，1），
OA
-
OB
=（1，-3）．
（1）求向量
OA
与
OB
；
（2）设向量
OA
与
OB
的夹角为θ，求cosθ的值；
（3）以向量
OA
与
OB
为邻边作平行四边形OACB，求向量
OC
．

难度：较易

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