知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

二维空间中圆的一维测度\((\)周长\()l=2πr\)，二维测度\((\)面积\()S=πr^{2}\)；三维空间中的球的二维测度\((\)表面积\()S=4πr^{2}\)，三维测度\((\)体积\()V=\dfrac{{4}}{{3}}{ }\!\!\pi\!\!{ }{{r}^{3}}.\)四维空间中的“超球”的三维测度\(V=8πr^{3}\)，猜想其四维测度\(W=\) \((\) \()\)

A．\(πr^{4}\)

B．\(2πr^{4}\)

C．\(\dfrac{{5}}{{4}}{ }\!\!\pi\!\!{ }{{r}^{4}}\)

D．\(\dfrac{{16}}{{9}}{ }\!\!\pi\!\!{ }{{r}^{4}}\)

难度：中等

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2．
\((1)\) 设一组数据\(51{,}54{,}m{,}57{,}53\)的平均数是\(54\)，则这组数据的标准差等于______．

\((2)\) 某单位在岗职工\(624\)人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定采用系统抽样方法抽取\(10{\%}\)的工人进行调查，首先在总体中随机剔除\(4\)人，将剩下的\(620\)名职工编号\((\)分别为\(000{,}001{,}002{,}{…}{,}619)\)，若样本中的最小编号是\(007\)，则样本中的最大编号是______ ．

\((3)\) 观察数组：\((1{,}1{,}1){,}(3{,}2{,}6){,}(5{,}4{,}20){,}(7{,}8{,}56){,}(a{,}b{,}c){,}{…}\)，则\(a{+}b{+}c{=}\) ______ ．

\((4)\) 已知\(f(x)\)为偶函数，当\(x{\leqslant }0\)时，\(f(x){=}\dfrac{1}{e}{⋅}\dfrac{1}{e^{x}}{-}x\)，则曲线\(y{=}f(x)\)在点\((1{,}2)\)处的切线方程是______．

难度：难

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3．

先阅读下列结论的证法，再解决后面的问题：已知\(a_{1}\)，\(a_{2}∈R\)，\(a_{1}+a_{2}=1\)，求证：\(a{\,\!}_{1}^{2}+a{\,\!}_{2}^{2}\geqslant \dfrac{1}{2}.\)证明：构造函数\(f(x)=(x-{a}_{1}{)}^{2} +(x-a_{2})^{2}\)，则\(f(x)=2x^{2}-2(a_{1}+a_{2})×a{\,\!}_{1}^{2}+a{\,\!}_{2}^{2}=2x^{2}-2x+a{\,\!}_{1}^{2}+a{\,\!}_{2}^{2}\)，因为对一切\(x∈R\)，恒有\(f(x)\geqslant 0.\)所以\(\triangle =4-8(a{\,\!}_{1}^{2}+a{\,\!}_{2}^{2})\leqslant 0\)，从而得\(a{\,\!}_{1}^{2}+a{\,\!}_{2}^{2}\geqslant \dfrac{1}{2}\)．

\((1)\)若\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(…\)，\(a_{n}∈R\)且\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(…\)，\(a_{n}∈R\)，\(a_{1}+a_{2}+…+a_{n}=1\)，请写出上述结论的推广式；

\((2)\)参考上述解法，对你推广的结论加以证明．

难度：中等

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4．
已知\(f_{1}(x)=\sin x+\cos x\)，记\(f_{2}(x)=f_{1}ˈ(x)\)，\(…\)，\(f_{n+1}(x)=f_{n}ˈ(x)\)，\(…\)，则\({f}_{1}\left( \dfrac{π}{3}\right)+{f}_{2}\left( \dfrac{π}{3}\right)+{f}_{3}\left( \dfrac{π}{3}\right)+⋯+{f}_{2017}\left( \dfrac{π}{3}\right) \) \(=\)_______．

难度：较易

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5．

已知三角形的三边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，内切圆的半径为\(r\)，则三角形的面积为\(s=\dfrac{1}{2}(a+b+c)r.\)已知四面体的四个面的面积分别为\(S_{1}\)，\(S_{2}\)，\(S_{3}\)，\(S_{4}\)，内切球的半径为\(R.\)类比三角形的面积可得四面体的体积为

A．\(V=\dfrac{1}{2}({{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}+{{S}_{4}})R\)

B．\(V=\dfrac{1}{3}({{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}+{{S}_{4}})R\)

C．\(V=\dfrac{1}{4}({{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}+{{S}_{4}})R\)

D．\(V=(S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4})R\)

难度：较易

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6．

对于任意的两个实数对\((a,b)\)和\((c,d)\)，规定：\((a,b)=(c,d)\)，当且仅当\(a=c\)，\(b=d\)；运算“\(⊗\)”为：\((a,b)⊗(c,d)=(ac-bd,bc+ad)\)；运算“\(⊕\)”为：\((a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d)\)，设\(p\)，\(q∈R\)，若\((1,2)⊗(p,q)=(5,0)\)，则\((1,2)⊕(p,q)=(\)　　\()\)

A．\((4,0)\)

B．\((2,0)\)

C．\((0,2)\)

D．\((0,-4)\)

难度：较易

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7．

某校高二\((1)\)班每周都会选出两位“迟到之星”，期中考试之前一周“迟到之星”人选揭晓之前，小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”，小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”，小谭说：“小赵说的对”\(.\)已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则“迟到之星”是( )

A．小赵、小谭

B．小马、小宋

C．小马、小谭

D．小赵、小宋

难度：中等

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8．

如图，已知\({\triangle }ABC\)周长为\(2\)，连接\({\triangle }ABC\)三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第\(2003\)个三角形周长为\(({ })\)

A．\(\dfrac{1}{2002}\)

B．\(\dfrac{1}{2001}\)

C．\(\dfrac{1}{2^{2002}}\)

D．\(\dfrac{1}{{{2}^{2001}}}\)

难度：较易

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9．

已知数列的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，\({{a}_{1}}=-\dfrac{2}{3}\)，满足\({{S}_{n}}+\dfrac{1}{{{S}_{n}}}+2={{a}_{n}}(n\geqslant 2)\)，通过计算\({{S}_{1}},{{S}_{2}},{{S}_{3}},{{S}_{4}},\)可猜想\({{S}_{n}}\)的表达式为

A．\(-\dfrac{{{n}^{2}}+5}{3n+6}\)

B．\(-\dfrac{n+1}{n+2}\)

C．\(-\dfrac{3n+3}{{{n}^{2}}+8}\)

D．\(-\dfrac{n+1}{2n+1}\)

难度：较难

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10．
已知在\(Rt\triangle ABC\)中，\(AB⊥AC\)，\(AD⊥BC\)于\(D\)，有\( \dfrac{1}{A{D}^{2}}= \dfrac{1}{A{B}^{2}}+ \dfrac{1}{A{C}^{2}} \)成立\(.\)那么在四面体\(A—BCD\)中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确，并给出理由．

难度：中等

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