知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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1．

观察图中各正方形图案，每条边上有a_n个圆点，第a_n个图案中圆点的个数是a_n，按此规律推断出所有圆点总和S_n与n的关系式为（　　）

A． $S_%7Bn%7D%3D2n%5E%7B2%7D-2n$

B． $S_%7Bn%7D%3D2n%5E%7B2%7D$

C． $S_%7Bn%7D%3D4n%5E%7B2%7D-3n$

D． $S_%7Bn%7D%3D2n%5E%7B2%7D%2B2n$

难度：易

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2．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．

该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”的两数之和，表中最后一行仅是一个数，则这个数为（　　）

A．2018×2²⁰¹⁶

B．2018×2²⁰¹⁵

C．2017×2²⁰¹⁶

D．2017×2²⁰¹⁵

难度：较易

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3．观察下列式子：1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，…由此可推测出一个一般性的结论：对于n∈N^*，1+2+…+n+…+2+1= ______ ．

难度：较易

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4．对于大于或等于2的自然数，有如下分解式：
2²=1+3
3²=1+3+5
4²=1+3+5+7
2³=3+5
3³=7+9+11
4³=13+15+17+19
根据上述分解规律，若n²=1+3+5+…+19，m³的分解中最小的数是43，则m+n= ______ ．

难度：易

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5．观察数表（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），…，则第100个括号内各数之和为（　　）

A．1479

B．1992

C．2000

D．2072

难度：较易

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6．现有两个推理：
①在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；
②由“若数列{a_n}为等差数列，则有 $%20%5Cfrac%20%7Ba_%7B6%7D%2Ba_%7B7%7D%2B%E2%80%A6%2Ba_%7B10%7D%7D%7B5%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7Ba_%7B1%7D%2Ba_%7B2%7D%2B%E2%80%A6%2Ba_%7B15%7D%7D%7B15%7D$ 成立”类比“若数列{b_n}为等比数列，则有 $%20%5Csqrt%5B5%5D%7Bb_%7B6%7Db_%7B7%7D%5Ccdots%20b_%7B10%7D%7D$ = $%20%5Csqrt%5B15%5D%7Bb_%7B1%7Db_%7B2%7D%5Ccdots%20b_%7B15%7D%7D$ 成立”
则关于两个推理（　　）

A．都正确

B．只有②正确

C．只有①正确

D．都不正确

难度：易

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7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=2，3S_n=a_n（n+2），n∈N^*．
（Ⅰ）求a₂，a₃并猜想a_n的表达式；
（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．

难度：较易

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8．类比平面内三角形“三边垂直平分线的交点是三角形外接圆圆心”的性质，可推知四面体的下列性质（　　）

A．过四面体各面的垂心分别与各面垂直的直线交点为四面体外接球球心

B．过四面体各面的内心分别与各面垂直的直线交点为四面体外接球球心

C．过四面体各面的重心分别与各面垂直的直线交点为四面体外接球球心

D．过四面体各面的外心分别与各面垂直的直线交点为四面体外接球球心

难度：易

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9．将正整数1，2，3，4，…，n²（n≥2）任意排成n行n列的数表．对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a，b（a＞b）的比值 $%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7Bb%7D$ ，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．
（1）当n=2时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；
（2）若a_ij表示某个n行n列数表中第i行第j列的数（1≤i≤n，1≤j≤n），且满足 $a_%7Bij%7D%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bi%2B%28j-i-1%29n%2Ci%3Cj%7D%7Bi%2B%28n-i%2Bj-1%29n%2Ci%5Cgeq%20j%7D%5Cend%7Bcases%7D$ 请分别写出n=3，4，5时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；
（3）对于由正整数1，2，3，4，…，n²排成的n行n列的任意数表，若某行（或列）中，存在两个数属于集合{n²-n+1，n²-n+2，…，n²}，记其“特征值”为λ，求证： $%CE%BB%E2%89%A4%20%5Cfrac%20%7Bn%2B1%7D%7Bn%7D$ ．

难度：中等

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10．（1）已知O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长交对边于A′，B′，C′，则 $%20%5Cfrac%20%7BOA%5E%7B%E2%80%B2%7D%7D%7BAA%5E%7B%27%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7BOB%5E%7B%E2%80%B2%7D%7D%7BBB%5E%7B%27%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7BOC%5E%7B%E2%80%B2%7D%7D%7BCC%5E%7B%27%7D%7D%3D1$ ，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”： $%20%5Cfrac%20%7BOA%5E%7B%E2%80%B2%7D%7D%7BAA%5E%7B%27%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7BOB%5E%7B%E2%80%B2%7D%7D%7BBB%5E%7B%27%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7BOC%5E%7B%E2%80%B2%7D%7D%7BCC%5E%7B%27%7D%7D%3D%20%5Cfrac%20%7BS_%7B%E2%96%B3OBC%7D%7D%7BS_%7B%E2%96%B3ABC%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7BS_%7B%E2%96%B3OCA%7D%7D%7BS_%7B%E2%96%B3ABC%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7BS_%7B%E2%96%B3OAB%7D%7D%7BS_%7B%E2%96%B3ABC%7D%7D%3D1$ ．
请运用类比思想，对于空间中的四面体A-BCD，存在什么类似的结论？并用体积法证明．
（2）已知0＜x＜2，0＜y＜2，0＜z＜2，求证：x（2-y），y（2-z），z（2-x）不都大于1．

难度：较易

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