知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

3．设集合M={1，2，3，…，n}（n≥3），记M的含有三个元素的子集个数为S_n，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为T_n．
（1）求 $%20%5Cfrac%20%7BT_%7B3%7D%7D%7BS_%7B3%7D%7D$ ， $%20%5Cfrac%20%7BT_%7B4%7D%7D%7BS_%7B4%7D%7D$ ， $%20%5Cfrac%20%7BT_%7B5%7D%7D%7BS_%7B5%7D%7D$ ， $%20%5Cfrac%20%7BT_%7B6%7D%7D%7BS_%7B6%7D%7D$ 的值；
（2）猜想 $%20%5Cfrac%20%7BT_%7Bn%7D%7D%7BS_%7Bn%7D%7D$ 的表达式，并证明之．

难度：难

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4．如图，将正整数排成一个三角形数阵：

按照以上排列的规律，第20行从左向右的第2个数为 ______ ．

难度：易

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5．考察下列等式：
cosθ+isinθ=a₁+b₁i，
（cosθ+isinθ）²=a₂+b₂i，
（cosθ+isinθ）³=a₃+b₃i，
…
（cosθ+isinθ）ⁿ=a_n+b_ni，
其中i为虚数单位，a_n，b_n（n∈N^*）均为实数．由归纳可得，当θ= $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D$ 时，a₂₀₁₆+b₂₀₁₆的值为 ______ ．

难度：较易

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6．观察等式：1³=1，1³+2³=9，1³+2³+3³=36，1³+2³+3³+4³=100，…，由以上等式推测到一个一般的结论，对于n∈N^*，1³+2³+3³+…+n³= ______ ．

难度：较易

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7．在等比数列{a_n}中，若r，s，t是互不相等的正整数，则有等式a_t^r-s•a_r^s-t•a_s^t-r=1成立．类比上述性质，相应地，在等差数列{b_n}中，若r，s，t是互不相等的正整数，则有等式 ______ 成立．

难度：较易

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8．从装有编号为1，2，3，…，n+1的n+1个球的口袋中取出m个球（0＜m≤n，m，n∈N），共有C_n+1^m种取法．在这C_n+1^m种取法中，不取1号球有C₁⁰C_n^m种取法；必取1号球有C₁¹C_n^m-1种取法．所以C₁⁰C_n^m+C₁¹C_n^m-1=C_n+1^m，即C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m成立．试根据上述思想，则有当1≤k≤m≤n，k，m，n∈N时，C_n^m+C_k¹C_n^m-1+C_k²C_n^m-2+…+C_k^kC_n^m-k= ______ ．

难度：较易

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9．在斜△ABC中，由A+B+C=π，得A+B=π-C，则tan（A+B）=tan（π-C），化简得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC．类比上述方法，若正角α，β，γ满足α+β+γ= $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D$ ，则tanα，tanβ，tanγ满足的结论为 ______ ．

难度：易

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10．已知f（n+1）= $%20%5Cfrac%20%7B2f%28n%29%7D%7Bf%28n%29%2B2%7D$ ，f（1）=1（n∈N^*），猜想f（n）的表达式为 ______ ．

难度：中等

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