知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

设三角形\(ABC\)的三边长分别为\(a\)、\(b\)、\(c\)，面积为\(S\)，内切圆半径为\(r\)，则\(r= \dfrac{2S}{a+b+c}\)；类比这个结论可知：若四面体\(S-ABC\)的四个面的面积分别为\(S_{1}\)、\(S_{2}\)、\(S_{3}\)、\(S_{4}\)，内切球的半径为\(r\)，四面体\(S-ABC\)的体积为\(V\)，则\(r=(\)　　\()\)

A．\( \dfrac{V}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}\)

B．\( \dfrac{2V}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}\)

C．\( \dfrac{3V}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}\)

D．\( \dfrac{4V}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}\)

难度：中等

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2．

“成都七中”四个字按顺时针排列在\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)号位子如图所示，第一次前后排调位，第二次左右调位，依次交替进行下去，那么第\(2014\)次互换后，“七”字对应的位置是 ( )

A．编号\(1\)

B．编号\(2\)

C．编号\(3\)

D．编号\(4\)

难度：中等

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3．有三张卡片，分别写有\(1\)和\(2\)，\(1\)和\(3\)，\(2\)和\(3.\) 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是\(2\)”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是\(1\)”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是\(5\)”，则甲的卡片上的数字是________________．

难度：较易

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4．

归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确\(.\)( )

A．\(√\)

B．\(×\)

难度：易

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5．

设平面内有\(k\)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设\(k\)条直线的交点个数为\(f(k)\)，则\(f(k+1)\)与\(f(k)\)的关系是 ( )

A．\(f(k+1)=f(k)+k+1\)

B．\(f(k+1)=f(k)+k-1\)

C．\(f(k+1)=f(k)+k\)

D．\(f(k+1)=f(k)+k+2\)

难度：较易

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6．

观察下列等式：

\(\left( \left. \sin \dfrac{π}{3} \right. \right)^{-2} +\left( \left. \sin \dfrac{2π}{3} \right. \right)^{-2} = \dfrac{4}{3}×1×2\)；

\(\left( \left. \sin \dfrac{π}{5} \right. \right)^{-2} +\left( \left. \sin \dfrac{2π}{5} \right. \right)^{-2} +\left( \left. \sin \dfrac{3π}{5} \right. \right)^{-2} +\left( \left. \sin \dfrac{4π}{5} \right. \right)^{-2} = \dfrac{4}{3}×2×3\)；

\(\left( \left. \sin \dfrac{π}{7} \right. \right)^{-2} +\left( \left. \sin \dfrac{2π}{7} \right. \right)^{-2} +\left( \left. \sin \dfrac{3π}{7} \right. \right)^{-2} +…+\left( \left. \sin \dfrac{6π}{7} \right. \right)^{-2} = \dfrac{4}{3}×3×4\)；

\(\left( \left. \sin \dfrac{π}{9} \right. \right)^{-2} +\left( \left. \sin \dfrac{2π}{9} \right. \right)^{-2} +\left( \left. \sin \dfrac{3π}{9} \right. \right)^{-2} +…+\left( \left. \sin \dfrac{8π}{9} \right. \right)^{-2} = \dfrac{4}{3}×4×5\)；

\(……\)

照此规律，

\(\left( \left. \sin \dfrac{π}{2n+1} \right. \right)^{-2} +\left( \left. \sin \dfrac{2π}{2n+1} \right. \right)^{-2} +\left( \left. \sin \dfrac{3π}{2n+1} \right. \right)^{-2} +…+\left( \left. \sin \dfrac{2nπ}{2n+1} \right. \right)^{-2} =\)__________．

难度：中等

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7．
在平面几何中：\(\triangle ABC\)的内角\(∠C\)的平分线\(CE\)分\(AB\)所成线段的比为\( \dfrac{AC}{BC}= \dfrac{AE}{BE}.\)把这个结论类比到空间：在三棱锥\(ABCD\)中\((\)如图\()\)，平面\(DEC\)平分二面角\(A-CD-B\)且与\(AB\)相交于\(E\)，则得到类比的结论是________．

难度：易

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8．

某中学的一个文学兴趣小组中，三位同学张博源、高家铭和刘雨恒分别从莎士比亚、雨果和曹雪芹三位名家中选择了一位进行性格研究，并且他们选择的名家各不相同\(.\)三位同学一起来找图书管理员刘老师，让刘老师猜猜他们三人各自的研究对象\(.\)刘老师猜了三句话：\(①\)张博源研究的是莎士比亚；\(②\)刘雨恒研究的一定不是曹雪芹；\(③\)高家铭自然不会研究莎士比亚\(.\)很可惜，刘老师的这种猜法，只猜对了一句，据此可以推知张博源、高家铭和刘雨恒分别研究的是

A．曹雪芹、莎士比亚、雨果

B．雨果、莎士比亚、曹雪芹

C．莎士比亚、雨果、曹雪芹

D．曹雪芹、雨果、莎士比亚

难度：较易

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9．已知\(\{a_{n}\}\)为等差数列，且\(a_{n}\neq 0\)，公差\(d\neq 0\)．
\((\)Ⅰ\()\)证明：\( \dfrac { C_{ 2 }^{ 0 }}{a_{1}}- \dfrac { C_{ 2 }^{ 1 }}{a_{2}}+ \dfrac { C_{ 2 }^{ 2 }}{a_{3}}= \dfrac {2d^{2}}{a_{1}a_{2}a_{3}}\)
\((\)Ⅱ\()\)根据下面几个等式：\( \dfrac {1}{a_{1}}- \dfrac {1}{a_{2}}= \dfrac {d}{a_{1}a_{2}}\)；\( \dfrac { C_{ 2 }^{ 0 }}{a_{1}}- \dfrac { C_{ 2 }^{ 1 }}{a_{2}}+ \dfrac { C_{ 2 }^{ 2 }}{a_{3}}= \dfrac {2d^{2}}{a_{1}a_{2}a_{3}}\)；\( \dfrac { C_{ 3 }^{ 0 }}{a_{1}}- \dfrac { C_{ 3 }^{ 1 }}{a_{2}}+ \dfrac { C_{ 3 }^{ 2 }}{a_{3}}- \dfrac { C_{ 3 }^{ 3 }}{a_{4}}= \dfrac {6d^{3}}{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}\)

；\( \dfrac { C_{ 4 }^{ 0 }}{a_{1}}- \dfrac { C_{ 4 }^{ 1 }}{a_{2}}+ \dfrac { C_{ 4 }^{ 2 }}{a_{3}}- \dfrac { C_{ 4 }^{ 3 }}{a_{4}}+ \dfrac { C_{ 4 }^{ 4 }}{a_{5}}= \dfrac {24d^{4}}{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}}\)，\(…\)
试归纳出更一般的结论，并用数学归纳法证明．

难度：较易

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10．
已知：\({{\sin }^{2}}{{1}^{\circ }}+{{\sin }^{2}}{{61}^{\circ }}+{{\sin }^{2}}{{121}^{\circ }}=\dfrac{3}{2}\) \({{\sin }^{2}}{{5}^{\circ }}+{{\sin }^{2}}{{65}^{\circ }}+{{\sin }^{2}}{{125}^{\circ }}=\dfrac{3}{2}\)

通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：_____________________________________________________

难度：中等

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