知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．如果一条信息有n（n＞1，n∈N）种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为p₁，p₂，…，p_n，则称H=f（p₁）+f（p₂）+…f（p_n）（其中f（x）=-xlog_ax，x∈（0，1））为该条信息的信息熵．已知 $f%28%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%29%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ．
（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；
（2）某次比赛共有n位选手（分别记为A₁，A₂，…，A_n）参加，若当k=1，2，…，n-1时，选手A_k获得冠军的概率为2^-k，求“谁获得冠军”的信息熵H关于n的表达式．

难度：较易

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3．观察（1）sin²30°+cos²60°+sin30°cos60°= $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B4%7D$ ；
（2）sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°= $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B4%7D$ ；
（3）sin²6°+cos²36°+sin6°cos36°= $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B4%7D$ ．
请你根据上述规律，提出一个猜想，并证明．

难度：较易

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4．先阅读下面的文字：“求 $%20%5Csqrt%20%7B1%2B%20%5Csqrt%20%7B1%2B%20%5Csqrt%20%7B1%2B%E2%80%A6%7D%7D%7D$ 的值时，采用了如下方法：令 $%20%5Csqrt%20%7B1%2B%20%5Csqrt%20%7B1%2B%20%5Csqrt%20%7B1%2B%E2%80%A6%7D%7D%7D$ =x，则有x= $%20%5Csqrt%20%7B1%2Bx%7D$ ，两边同时平方，得1+x=x²，解得x= $%20%5Cfrac%20%7B1%2B%20%5Csqrt%20%7B5%7D%7D%7B2%7D$ （负值已舍去）”可用类比的方法，求得1+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B1%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%2B%5Ccdots%20%7D%7D%7D$ 的值等于（　　）

A． $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D-1%7D%7B2%7D$

B． $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%2B1%7D%7B2%7D$

C． $%20%5Cfrac%20%7B1-%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$

D． $%20%5Cfrac%20%7B-1-%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$

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5． a₁= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ‘
a₂= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ （1-a₁）= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B6%7D$ ；
a₃= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D$ （1-a₁-a₂）= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B12%7D$ ；
a₄= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B5%7D$ （1-a₁-a₂-a₃）= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B20%7D$ ；
…
照此规律，当n∈N*时，a_n= ______ ．

难度：易

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6．观察式子：1+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%5E%7B2%7D%7D$ ＜ $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$ ；1+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%5E%7B2%7D%7D$ ＜ $%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B3%7D$ ，1+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%5E%7B2%7D%7D$ ＜ $%20%5Cfrac%20%7B7%7D%7B4%7D$ …则可归纳出第n-1个式子为 ______ ．

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7．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 016项与5的差，即a₂₀₁₆-5=（　　）

A．2 018×2 014

B．2 018×2 013

C．1 011×2 015

D．1 010×2 012

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8．在等差数列{a_n}中，a₁₀=0，则有等式a₁+a₂+…+a_n=a₁+a₂+…+a_19-n（n＜19，n∈N^*）成立，类比上述性质，相应地在等比数列{b_n}中，若b₉=1，则成立的等式是（　　）

A．b₁b₂…b_n=b₁b₂…b_17-n　（n＜17，n∈N^*）

B．b₁b₂…b_n=b₁b₂…b_18-n（n＜18，n∈N^*）

C．b₁+b₂+…+b_n=b₁+b₂+…+b_17-n（n＜17，n∈N^*）

D．b₁+b₂+…+b_n=b₁+b_2-1+…+b_18-n（n＜18，n∈N^*）

难度：较易

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9．某公司在进行人才招聘时，由甲乙丙丁戊5人入围，从学历看，这5人中2人为硕士，3人为博士：从年龄看，这5人中有3人小于30岁，2人大于30岁，已知甲丙属于相同的年龄段，而丁戊属于不同的年龄段，乙戊的学位相同，丙丁的学位不同，最后，只有一位年龄大于30岁的硕士应聘成功，据此，可以推出应聘成功者是 ______ ．

难度：易

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10．记 $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Ba_%7Bn%7Da_%7Bn-1%7Da_%7Bn-2%7D%5Ccdots%20a_%7B1%7Da_%7B0%7D%7D%7C_%7Bm%7D$ =a₀+a₁×m+…+a_n-1×m^n-1+a_n×mⁿ，其中n≤m，m、n均为正整数，a_k∈{0，1，2，…，m-1}（k=0，1，2，…，n）且a_n≠0；
（1）计算 $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7B2016%7D%7C_%7B7%7D$ = ______ ；
（2）设集合A（m，n）= $%5C%7Bx%7Cx%3D%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Ba_%7Bn%7Da_%7Bn-1%7Da_%7Bn-2%7D%5Ccdots%20a_%7B1%7Da_%7B0%7D%7D%7C_%7Bm%7D%5C%7D$ ，则A（m，n）中所有元素之和为 ______ ．

难度：中等

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