知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设a，b是非负实数，求证：a³+b³≥
ab
（a²+b²）．

难度：较难

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2．设f(n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
，是否存在g（n），使等式f（1）+f（2）+…+f（n-1）=g（n）[f（n）-1]对n≥2的一切自然数都成立，并证明你的结论．

难度：中等

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3．已知a，b，c为正数，且两两不等，求证：2（a³+b³+c³）＞a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）．

难度：中等

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4．设函数f（x）=e^x-x-1，g（x）=e^2x-x-7．
（1）解不等式f（x）≤g（x）；
（2）事实上：对于∀x∈R，有f（x）≥0成立，当且仅当x=0时取等号．由此结论证明：(1+
1
x
)x＜e，（x＞0）．

难度：较难

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5．命题“对于任意角θ，cos⁴θ-sin⁴θ=cos2θ”的证明：“cos⁴θ-sin⁴θ=（cos²θ-sin²θ）（cos²θ+sin²θ）=cos²θ-sin²θ=cos2θ”过程应用了（　　）

A．分析发

B．综合法

C．综合法、分析法结合使用

D．间接证法

难度：较难

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6．证明不等式

＜

的最适合的方法是（　　）

A．综合法

B．分析法

C．间接证法

D．合情推理法

难度：中等

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7．已知函数f（x）=log₂x
（Ⅰ）若f（x）的反函数是函数y=g（x），解方程g（2x）=2g（x）+10；
（Ⅱ）对于任意a、b、c∈[M，+∞），M＞1且a≥b≥c．当a，b，c能作为一个三角形的三边长时，f（a）、f（b）、f（c）也总能作为某个三角形的三边长，试分别探究下面两个问题：
（1）当1＜M＜2时，是否存在a、b、c∈[M，+∞），且a≥b≥c，当a、b、c能作为一个三角形的三边长时，以f（a）、f（b）、f（c）不能作为三角形的三边长．
（2）M≥2，证明：对于任a、b、c∈[M，+∞），且a≥b≥c，当a、b、c能作为一个三角形的三边长时，f（a）、f（b）、f（c）总能作为三角形的三边长．

难度：较难

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8．已知a，b，c∈R⁺，求证：
a
b+c
+
b
a+c
+
c
a+b
≥
3
2
．

难度：中等

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9．已知数列A_n：a₁，a₂，…，a_n．如果数列B_n：b₁，b₂，…，b_n满足b₁=a_n，b_k=a_k-1+a_k-b_k-1，其中k=2，3，…，n，则称B_n为A_n的“衍生数列”．
（Ⅰ）写出数列A₄：2，1，4，5的“衍生数列”B₄；
（Ⅱ）若n为偶数，且A_n的“衍生数列”是B_n，证明：b_n=a₁；
（Ⅲ）若n为奇数，且A_n的“衍生数列”是B_n，B_n的“衍生数列”是C_n，…．依次将数列A_n，B_n，C_n，…的首项取出，构成数列Ω：a₁，b₁，c₁，…．证明：Ω是等差数列．

难度：较难

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10．设a，b均为正数，
（Ⅰ）求证：
ab
≥
2
1
a
+
1
b
；
（Ⅱ）如果依次称
a+b
2
、
ab
、
2
1
a
+
1
b
分别为a，b两数的算术平均数、几何平均数、调和平均数．如右图，C为线段AB上的点，令AC=a，CB=b，O为AB的垂线交半圆于D．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，请分别用图中线段的长度来表示a，b两数的几何平均数和调和平均数，并说明理由．

难度：中等

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