在\(\Delta ABC\)中，内角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边分别是\(a\)，\(b\)，\(c\)，满足\(\left( {{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}} \right){\sin }B=\sqrt{3}\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}} \right){\cos }B\)．

\((1)\)求角\(A\)；

\((2)\)设\(a=2\)，且\(2{\cos }A{\sin }2B+{\sin }\left( B-C \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)，求\(\Delta ABC\)的面积．

\((1)\)已知函数\(f(x)=1+\dfrac{a}{{{2}^{x}}+1}(a\in R)\)为奇函数，则\(a=\)____．

\((2)\)如图，若\(n=4\)时，则输出的结果为_______．

\((3)\)从圆\(\dfrac{1}{2}\)内任取一点\(P\)，则\(P\)到直线\(x+y=1 \)的距离小于\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)的概率____．

\((4)\)在\(\Delta ABC\)中，角\(A,B,C\)的对边分别是\(a,b,c\)，若\( \dfrac{c}{\sin B}+ \dfrac{b}{\sin C}=2a \)，\(b= \sqrt{2} \)，则\(\Delta ABC\)面积是_______．

\((3)a=9\)，\(b=10\)，\(A=60^{\circ}\)．

某舰艇在\(A\)处测得遇险渔船在北偏东\(45^{\circ}\)，距离为\(10 n mile\)的\(C\)处，此时得知，该渔船沿北偏东\(105^{\circ}\)方向，以每小时\(9 n mile\)的速度向一小岛靠近，舰艇时速\(21 n mile\)，则舰艇到达渔船的最短时间是______小时．

如下图，在一条海防警戒线上的点\(A\)，\(B\)，\(C\)处各有一个水声监测点，\(B\)，\(C\)两处到\(A\)的距离分别为\(20km\)和\(50km.\)某时刻，\(B\)收到发自静止目标\(P\)的一个声波信号，\(8s\)后\(A\)，\(C\)同时接收到该声波信号\(.\)已知声波在水中的传播速度是\(1.5km/s\)．

\((1)\)设\(A\)到\(P\)的距离为\(xkm\)，用\(x\)表示\(B\)，\(C\)两处到\(P\)的距离，并求\(x\)的值；

\((2)\)求\(P\)到海防警戒线\(AC\)的距离\((\)结果精确到\(0.01km)\)

某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是________\(km^{2}\)．

在\(\triangle ABC\)中，\(AC=6\)，\(\cos B=\dfrac{4}{5}\)，\(C=\dfrac{\pi }{4}\)．

\((1)\)求\(AB\)的长；

\((2)\cos (A-\dfrac{\pi }{6})\)的值．

为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求_{\(\angle ACB=60{}^\circ \)} ，_\(BC\) 的长度大于\(1\)米，且_\(AC\) 比_\(AB\) 长\(0.5\)米，为了稳固广告牌，要求_\(AC\) 越短越好，则_\(AC\) 最短为(    )

在\(\triangle ABC\)中，内角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，且\(\sqrt{3}b\sin A=a\cos B\)．

\((1)\)求\(B\)；

\((2)\)若\(b=3\)，\(\sin C=\sqrt{3}\sin A\)，求\(a\)，\(c\)．