已知\(\alpha \in (0,\pi ),\sin \alpha +\cos \alpha =\dfrac{1}{5}\)．

\((\)Ⅰ\()\) 求\(\sin \alpha -\cos \alpha \)的值；

\((\)Ⅱ\()\) 求\(\sin (2\alpha +\dfrac{\pi }{3})\)的值．

用单位圆证明角\(α\)的正弦的绝对值与余弦的绝对值之和不小于\(1\)，即已知\(0\leqslant α < 2π\)，求证：\(|\sin α|+|\cos α|\geqslant 1\)．

\(6\)、\((\)本小题满分\(12\)分\()\)已知等比数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}},{{a}_{n}} > 0,{{a}_{1}}=\dfrac{2}{3}\)，且\(-\dfrac{3}{{{a}_{2}}},\dfrac{1}{{{a}_{3}}},\dfrac{1}{{{a}_{4}}}\)成等差数列．

\((I)\)求数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的通项公式；

\((II)\)设数列\(\{{{b}_{n}}\}\)满足\({{b}_{n}}\cdot {{\log }_{3}}(1-{{S}_{n+1}})=1\)，求适合方程\({{b}_{1}}{{b}_{2}}+{{b}_{2}}{{b}_{3}}+...+{{b}_{n}}{{b}_{n+1}}=\dfrac{25}{51}\)的正整数\(n\)的值．

已知函数\(f(x)= \sqrt{3}\cos (2x- \dfrac{π}{3})-2\sin x\cos x \)．

\((1)\)求 \(f(x)\) 的最小正周期；

\((2)\)求证：当\(x∈[- \dfrac{π}{4}, \dfrac{π}{4}] \) 时，\(f(x)\geqslant - \dfrac{1}{2} \)．

已知函数\(f(x)=\sqrt{3}\cos (2x-\dfrac{\pi }{3})-2\sin x\cos x\)，求：

\((\)Ⅰ\()\)函数\(f(x)\)的最小正周期；

\((\)Ⅱ\()\)当\(x\in [-\dfrac{\pi }{4},\dfrac{\pi }{4}]\)时，求函数\(f(x)\)的值域．

如图所示，已知\(\alpha \)的终边所在直线上的一点\(P\)的坐标为\((-3,4)\)，\(\beta \)的终边在第一象限且与单位圆的交点\(Q\)的纵坐标为\(\dfrac{\sqrt{2}}{10}\)

\((1)\)求\(\tan (2\alpha +\beta )\)的值

\((2)\)若\(\dfrac{\pi }{2} < \alpha < \pi ,0 < \beta < \dfrac{\pi }{2}\)，求\(\alpha +\beta \)

已知\( \overset{→}{a}=( \sqrt{3}\sin x,8), \overset{→}{b}=(8\cos x,{\cos }^{2}x),f(x)= \overset{→}{a} \overset{→}{b}+m,m∈R \)．

\((1)\)求 \(f(x)\) 的最小正周期； 

\((2)\) 若\(x∈[ \dfrac{π}{12}, \dfrac{π}{2}] \)时， \(-3\leqslant f(x)\leqslant 14\) 恒成立，求实数 \(m\) 的取值范围；

\((3)\)设\(A\) 为\(\triangle ABC\) 的一个内角，且\(f( \dfrac{A}{2}- \dfrac{π}{12})-m= \dfrac{52}{5},\cos B= \dfrac{5}{13} \)，求 \(\cos C\) 的值．