知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润\(200\)元，未销售的产品返回厂家，每台亏损\(50\)元，根据往年的经验，每天的需求量与当天的最低气温有关，如果最低气温位于区间\([-20,-10]\)，需求量为\(100\)台；最低气温位于区间\([-25,-20)\)，需求量为\(200\)台；最低气温位于区间\([-35,-25)\)，需求量为\(300\)台\(.\)公司销售部为了确定\(11\)月份的订购计划，统计了前三年\(11\)月份各天的最低气温数据，得到下面的频数分布表：

最低气温\((℃)\) \([-35,-30)\) \([-30,-25)\) \([-25,-20)\) \([-20,-15)\) \([-15,-10]\)

天数 \(11\) \(25\) \(36\) \(16\) \(2\)

以最低气温位于各区间的频率代替最低气温位于该区间的概率．
\((1)\)求\(11\)月份这种电暖气每日需求量\(X(\)单位：台\()\)的分布列；
\((2)\)若公司销售部以每日销售利润\(Y(\)单位：元\()\)的数学期望为决策依据，计划\(11\)月份每日订购\(200\)台或\(250\)台，两者之中选其一，应选哪个？

难度：较易

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2．
近年来，我国电子商务蓬勃发展，有关部门推出了针对网购平台的商品和服务的评价系统，从该系统中随机选出\(100\)次成功了的交易，并对这些交易的评价进行统计，网购者对商品的满意率为\(0.6\)，对服务的满意率为\(0.75\)，其中对商品和服务都满意的交易为\(40\)次．
\((1)\)根据已知条件完成下面的\(2×2\)列联表，并回答能否有\(99\%\)的把握认为“网购者对服务满意与对商品满意之间有关”？

对服务满意对服务不满意合计

对商品满意 \(40\)

对商品不满意

合计 \(100\)

\((2)\)若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的\(3\)次购物中，设对商品和服务都满意的次数为\(X\)，求\(X\)的分布列和数学期望．
附：\(K^{2}= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}(\)其中\(n=a+b+c+d\)为样本容量\()\)

\(P(K^{2}\geqslant k_{0})\) \(0.15\) \(0.10\) \(0.05\) \(0.025\) \(0.010\)

\(k\) \(2.072\) \(2.706\) \(3.841\) \(5.024\) \(6.635\)

难度：较易

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3．

诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“\( \dfrac {{周实际回收水费}}{{周投入成本}}\)”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周\((\)共三个周期\()\)的诚信数据统计：

	第一周	第二周	第三周	第四周
第一个周期	\(95\%\)	\(98\%\)	\(92\%\)	\(88\%\)
第二个周期	\(94\%\)	\(94\%\)	\(83\%\)	\(80\%\)
第三个周期	\(85\%\)	\(92\%\)	\(95\%\)	\(96\%\)

\((1)\)计算表中十二周“水站诚信度”的平均数\( \overline {x}\)；
\((2)\)分别从表中每个周期的\(4\)个数据中随机抽取\(1\)个数据，设随机变量\(X\)表示取出的\(3\)个数据中“水站诚信度”超过\(91\%\)的数据的个数，求随机变量\(X\)的分布列和期望；
\((3)\)已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．

难度：较易

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4．
某次有\(600\)人参加的数学测试，其成绩的频数分布表如图所示，规定\(85\)分及其以上为优秀．

区间 \([75,80)\) \([80,85)\) \([85,90)\) \([90,95)\) \([95,100]\)

人数 \(36\) \(114\) \(244\) \(156\) \(50\)

\((\)Ⅰ\()\)现用分层抽样的方法从这\(600\)人中抽取\(20\)人进行成绩分析，求其中成绩为优秀的学生人数；
\((\)Ⅱ\()\)在\((\)Ⅰ\()\)中抽取的\(20\)名学生中，要随机选取\(2\)名学生参加活动，记“其中成绩为优秀的人数”为\(X\)，求\(X\)的分布列与数学期望．

难度：易

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5．
手机\(QQ\)中的“\(QQ\)运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数\(.\)小明的\(QQ\)朋友圈里有大量好友参与了“\(QQ\)运动”，他随机选取了其中\(30\)名，其中男女各\(15\)名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如表所示：

步数
性别 \((0,2500)\) \([2500,5000)\) \([5000,7500)\) \([7500,10000)\) \([10000,+∞)\)

男 \(0\) \(2\) \(4\) \(7\) \(2\)

女 \(1\) \(3\) \(7\) \(3\) \(1\)

\((\)Ⅰ\()\)以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明\(QQ\)朋友圈里的男性好友中任意选取\(3\)名，其中走路步数低于\(7500\)步的有\(X\)名，求\(X\)的分布列和数学期望；
\((\)Ⅱ\()\)如果某人一天的走路步数超过\(7500\)步，此人将被“\(QQ\)运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”\(.\)根据题意完成下面的\(2×2\)列联表，并据此判断能否有\(95\%\)以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？

积极型消极型总计

男

女

总计

附：\(K^{2}= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\)．

\(P(K^{2}\geqslant k_{0})\) \(0.10\) \(0.05\) \(0.025\) \(0.01\)

\(k_{0}\) \(2.706\) \(3.841\) \(5.024\) \(6.635\)

难度：较易

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6．
甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为\( \dfrac {3}{4}\)、\( \dfrac {2}{3}\)、\( \dfrac {1}{2}\)，笔试、口试、实验通过考试分别记\(4\)分、\(2\)分、\(4\)分，没通过的项目记\(0\)分，各项成绩互不影响．
\((\)Ⅰ\()\)若规定总分不低于\(8\)分即可进入复赛，求甲同学进入复赛的概率；
\((\)Ⅱ\()\)记三个项目中通过考试的个数为\(X\)，求随机变量\(X\)的分布列和数学期望．

难度：较易

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7．
在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各\(50\)户贫困户\(.\)为了做到精准帮扶，工作组对这\(100\)户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标\(x\)和\(y\)，制成下图，其中“\(*\)”表示甲村贫困户，“\(+\)”表示乙村贫困户．

若\(0 < x < 0.6\)，则认定该户为“绝对贫困户”，若\(0.6\leqslant x\leqslant 0.8\)，则认定该户为“相对贫困户”，若\(0.8 < x\leqslant 1\)，则认定该户为“低收入户”；若\(y\geqslant 100\)，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”．
\((1)\)从甲村\(50\)户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率；
\((2)\)若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选\(3\)户，用\(ξ\)表示所选\(3\)户中乙村的户数，求\(ξ\)的分布列和数学期望\(E(ξ)\)；
\((3)\)试比较这\(100\)户中，甲、乙两村指标\(y\)的方差的大小\((\)只需写出结论\()\)．

难度：较易

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8．

某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为\(2:1.\)监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取\(5\)辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同．

\((1)\)求抽取的\(5\)辆单车中有\(2\)辆是蓝色颜色单车的概率；

\((2)\)在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过\(n(n∈{N}^{*} )\)次\(.\)在抽样结束时，已取到的黄色单车以\(ξ \)表示，求\(ξ \)的分布列和数学期望．

难度：中等

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9．
高二某班选出甲乙两位学生参加数学素养知识竞赛，在决赛前举行了预赛：
\((1)\)若预赛共进行了\(12\)次测试，甲乙两人成绩分别如表：

甲 \(58\) \(76\) \(92\) \(67\) \(89\) \(56\) \(85\) \(75\) \(68\) \(75\) \(84\) \(75\)

乙 \(85\) \(70\) \(92\) \(81\) \(92\) \(68\) \(73\) \(75\) \(56\) \(65\) \(51\) \(92\)

\(①\)完成答题卡中的茎叶图，分别答出甲乙两人成绩的众数，中位数，平均数；
\(②\)比较两人的方差，\(S_{甲}^{2}\)与\(S_{乙}^{2}\)哪个较大？\((\)只答出结论\()\)
\(③\)若已经知道决赛成绩至少\(92\)分才能获奖，你判断选谁参加决赛更合适？请说明理由．
\((2)\)若预赛命题组只准备八道题目，每人随机抽出四道题目回答，若至少答对三道题目者方可参加决赛，已知甲只能答对其中六道题，乙答对每题的概率都为\( \dfrac {3}{4}\)，试求出甲，乙答对题目数的期望，方差及答对至少三道题目的概率\(.(\)结果保留最简分数\()\)

难度：较易

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10．
小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案\(.\)甲方案：底薪\(100\)元，每派送一单奖励\(1\)元；乙方案：底薪\(140\)元，每日前\(55\)单没有奖励，超过\(55\)单的部分每单奖励\(12\)元．
\((\)Ⅰ\()\)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪\(y(\)单位：元\()\)与送货单数\(n\)的函数关系式；
\((\)Ⅱ\()\)根据该公司所有派送员\(100\)天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数与天数满足以下表格：

日均派送单数 \(52\) \(54\) \(56\) \(58\) \(60\)

频数\((\)天\()\) \(20\) \(30\) \(20\) \(20\) \(10\)

回答下列问题：
\(①\)根据以上数据，设每名派送员的日薪为\(X(\)单位：元\()\)，试分别求出这\(100\)天中甲、乙两种方案的日薪\(X\)平均数及方差；
\(②\)结合\(①\)中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由．
\((\)参考数据：\(0.6^{2}=0.36\)，\(1.4^{2}=1.96\)，\(2.6^{2}=6.76\)，\(3.4^{2}=11.56\)，\(3.6^{2}=12.96\)，\(4.6^{2}=21.16\)，\(15.6^{2}=243.36\)，\(20.4^{2}=416.16\)，\(44.4^{2}=1971.36)\)

难度：较易

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最低气温\((℃)\)	\([-35,-30)\)	\([-30,-25)\)	\([-25,-20)\)	\([-20,-15)\)	\([-15,-10]\)
天数	\(11\)	\(25\)	\(36\)	\(16\)	\(2\)

	对服务满意	对服务不满意	合计
对商品满意	\(40\)
对商品不满意
合计			\(100\)

\(P(K^{2}\geqslant k_{0})\)	\(0.15\)	\(0.10\)	\(0.05\)	\(0.025\)	\(0.010\)
\(k\)	\(2.072\)	\(2.706\)	\(3.841\)	\(5.024\)	\(6.635\)

区间	\([75,80)\)	\([80,85)\)	\([85,90)\)	\([90,95)\)	\([95,100]\)
人数	\(36\)	\(114\)	\(244\)	\(156\)	\(50\)

步数性别	\((0,2500)\)	\([2500,5000)\)	\([5000,7500)\)	\([7500,10000)\)	\([10000,+∞)\)
男	\(0\)	\(2\)	\(4\)	\(7\)	\(2\)
女	\(1\)	\(3\)	\(7\)	\(3\)	\(1\)

日均派送单数	\(52\)	\(54\)	\(56\)	\(58\)	\(60\)
频数\((\)天\()\)	\(20\)	\(30\)	\(20\)	\(20\)	\(10\)

	积极型	消极型	总计
男
女
总计