知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
设\(A=(a_{i,j})_{n×n}= \begin{Bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & … & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & … & a_{2,n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n,1} & a_{n,2} & … & a_{n,n}\end{Bmatrix} \)是由\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(…\)，\(n^{2}\)组成的\(n\)行\(n\)列的数表\((\)每个数恰好出现一次\()\)，\(n\geqslant 2\)且\(n∈N*\)．
若存在\(1\leqslant i\leqslant n\)，\(1\leqslant j\leqslant n\)，使得\(a_{i,j}\)既是第\(i\)行中的最大值，也是第\(j\)列中的最小值，则称数表\(A\)为一个“\(N-\)数表”\(a_{i,j}\)为数表\(A\)的一个“\(N-\)值”，
对任意给定的\(n\)，所有“\(N-\)数表”构成的集合记作\(Ω_{n}\)．
\((1)\)判断下列数表是否是“\(N-(2)\)数表”\(.\)若是，写出它的一个“\(N-(3)\)值”；\(A= \begin{Bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{Bmatrix} \)，\(B= \begin{Bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 8 & 2 & 5 \\ 6 & 9 & 3\end{Bmatrix} \)；
\((\)Ⅱ\()\)求证：若数表\(A\)是“\(N-\)数表”，则\(A\)的“\(N-\)值”是唯一的；
\((\)Ⅲ\()\)在\(Ω_{19}\)中随机选取一个数表\(A\)，记\(A\)的“\(N-\)值”为\(X\)，求\(X\)的数学期望\(E(X)\)．

难度：中等

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2．
将\(4\)本不同的书随机放入如图所示的编号为\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)的四个抽屉中．
\((1)\)求\(4\)本书恰好放在四个不同抽屉中的概率；
\((2)\)随机变量\(X\)表示放在\(2\)号抽屉中书的本数，求\(X\)的分布列和数学期望\(E(X)\)．

难度：较易

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3．

某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标为\(k\)，当\(k\geqslant 85\)时，产品为一级品；当\(75\leqslant k < 85\)时，产品为二级品；当\(70\leqslant k < 75\)时，产品为三级品\(.\)现用两种新配方\((\)分别称为\(A\)配方和\(B\)配方\()\)做实验，各生产了\(100\)件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：\((\)以下均视频率为概率\()\)
\(A\)配方的频数分布表 \(B\)配方的频数分布表

指标值分组	\([75,80)\)	\([80,85)\)	\([85,90)\)	\([90,95)\)		指标值分组	\([75,80)\)	\([80,85)\)	\([85,90)\)	\([90,95)\)	\([75,80)\)
频数	\(10\)	\(30\)	\(40\)	\(20\)		频数	\(5\)	\(10\)	\(15\)	\(40\)	\(30\)

\((1)\)若从\(B\)配方产品中有放回地随机抽取\(3\)件，记“抽出的\(B\)配方产品中至少\(1\)件二级品”为事件\(C\)，求事件\(C\)的概率\(P(C)\)；
\((2)\)若两种新产品的利润率与质量指标值\(k\)满足如下关系：\(y= \begin{cases} t,k\geqslant 85 \\ 5t^{2},75\leqslant k < 85 \\ t^{2},70\leqslant k < 75\end{cases}(\)其中\( \dfrac {1}{7} < t < \dfrac {1}{6})\)，从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？

难度：较易

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4．
某协会对\(A\)，\(B\)两家服务机构进行满意度调查，在\(A\)，\(B\)两家服务机构提供过服务的市民中随机抽取了\(1000\)人，每人分别对这两家服务机构进行评分，满分均为\(60\)分．
整理评分数据，将分数以 \(10\) 为组距分成\(6\) 组：\([0,10)\)，\([10,20)\)，\([20,30)\)，\([30,40)\)，\([40,50)\)，\([50,60]\)，得到\(A\)服务机构分数的频数分布表，\(B\)服务机构分数的频率分布直方图：
\(A\)服务机构分数的频数分布表

分数区间频数

\([0,10)\) \(20\)

\([10,20)\) \(30\)

\([20,30)\) \(50\)

\([30,40)\) \(150\)

\([40,50)\) \(400\)

\([50,60]\) \(350\)

定义市民对服务机构评价的“满意度指数”如下：

分数 \([0,30)\) \([30,50)\) \([50,60]\)

满意度指数 \(0\) \(1\) \(2\)

\((1)\)在抽样的\(1000\)人中，求对\(B\)服务机构评价“满意度指数”为\(0\)的人数；
\((2)\)从在\(A\)，\(B\)两家服务机构都提供过服务的市民中随机抽取\(1\)人进行调查，试估计其对\(B\)服务机构评价的“满意度指数”比对\(A\)服务机构评价的“满意度指数”高的概率；
\((3)\)如果从\(A\)，\(B\)服务机构中选择一家服务机构，你会选择哪一家？说明理由．

难度：中等

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5．
为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图

\((1)\)根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩\(u_{0}\)；\((\)精确到个位\()\)
\((2)\)研究发现，本次检测的理科数学成绩\(X\)近似服从正态分布\(N(u,σ^{2})(u=u_{0},σ\)约为\(19.3)\)，按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占\(40\%\)．
\((i)\)估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？\((\)精确到个位\()\)
\((ii)\)从该市高三理科学生中随机抽取\(4\)人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为\(Y\)，求\(Y\)的分布列及数学期望\(E(Y)\)．
\((\)说明：\(P(X > x_{1})=1-ϕ( \dfrac {x_{1}-u}{\sigma })\)表示\(X > x_{1}\)的概率\(.\)参考数据\(φ(0.7257)=0.6\)，\(φ(0.6554)=0.4)\)

难度：较易

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6．
某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校\(200\)名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间\((\)单位：分钟\()\)进行调查，将收集的数据分成\([0,10)\)，\([10,20)\)，\([20,30)\)，\([30,40)\)，\([40,50)\)，\([50,60)\)六组，并作出频率分布直方图\((\)如图\()\)，将日均课外体育锻炼时间不低于\(40\)分钟的学生评价为“课外体育达标”．

课外体育不达标课外体育达标合计

男 \(60\) ______ ______

女 ______ ______ \(110\)

合计 ______ ______ ______

\((1)\)请根据直方图中的数据填写下面的\(2×2\)列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过\(0.01\)的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？
\((2)\)现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取\(8\)人，再从这\(8\)名学生中随机抽取\(3\)人参加体育知识问卷调查，记“课外体育不达标”的人数为\(ξ\)，求\(ξ\)的分布列和数学期望．
附参考公式与：\(K^{2}= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\)

\(P(K^{2}\geqslant k_{0})\) \(0.15\) \(0.05\) \(0.025\) \(0.010\) \(0.005\) \(0.001\)

\(k_{0}\) \(2.702\) \(3.841\) \(5.024\) \(6.635\) \(7.879\) \(10.828\)

难度：较难

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7．
共享单车因绿色、环保、健康的出行方式，在国内得到迅速推广\(.\)最近，某机构在某地区随机采访了\(10\)名男士和\(10\)名女士，结果男士、女士中分别有\(7\)人、\(6\)人表示“经常骑共享单车出行”，其他人表示“较少或不选择骑共享单车出行”．
\((1)\)从这些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“经常骑共享单车出行”的概率；
\((2)\)从这些男士中抽取一人，女士中抽取两人，记这三人中“经常骑共享单车出行”的人数为\(X\)，求\(X\)的分布列与数学期望．

难度：中等

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8．
中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛\(.\)据统计，\(2016\)年卫星导航与位置服务产业总产值达到\(2118\)亿元，较\(2015\)年约增长\(22.06\%.\)下面是\(40\)个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值\((\)单位：万元\()\)的频率分布直方图：
\((1)\)根据频率分布直方图，求产值小于\(500\)万元的城市个数；
\((2)\)在上述抽取的\(40\)个城市中任取\(2\)个，设\(Y\)为产值不超过\(500\)万元的城市个数，求\(Y\)的分布列及期望和方差．

难度：较易

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9．
某工厂对\(A\)、\(B\)两种型号的产品进行质量检测，从检测的数据中随机抽取\(6\) 次，记录数据如下：
\(A\)：\(8.3\)，\(8.4\)，\(8.4\)，\(8.5\)，\(8.5\)，\(8.9\)
\(B\)：\(7.5\)，\(8.2\)，\(8.5\)，\(8.5\)，\(8.8\)，\(9.5\)
\((\) 注：数值越大表示产品质量越好\()\)
\((\)Ⅰ\()\)若要从\(A\)、\(B\)中选一种型号产品投入生产，从统计学角度考虑，你认为生产哪种型号产品合适？简单说明理由；
\((\)Ⅱ\()\)若将频率视为概率，对产品\(A\)今后的\(4\)次检测数据进行预测，记这\(4\)次数据中不低于\(8.5\) 分的次数为\(ξ\)，求\(ξ\)的分布列及期望\(Eξ\)．

难度：较易

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10．

若\(X～N(5, \dfrac {1}{5})\)，则\((\)　　\()\)

A．\(E(X)=1\)且\(D(X)= \dfrac {4}{5}\)

B．\(E(X)= \dfrac {1}{5}\)且\(D(X)=1\)

C．\(E(X)=1\)且\(D(X)= \dfrac {1}{5}\)

D．\(E(X)= \dfrac {4}{5}\)且\(D(X)=1\)

难度：易

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分数区间	频数
\([0,10)\)	\(20\)
\([10,20)\)	\(30\)
\([20,30)\)	\(50\)
\([30,40)\)	\(150\)
\([40,50)\)	\(400\)
\([50,60]\)	\(350\)

分数	\([0,30)\)	\([30,50)\)	\([50,60]\)
满意度指数	\(0\)	\(1\)	\(2\)

	课外体育不达标	课外体育达标	合计
男	\(60\)	______	______
女	______	______	\(110\)
合计	______	______	______

\(P(K^{2}\geqslant k_{0})\)	\(0.15\)	\(0.05\)	\(0.025\)	\(0.010\)	\(0.005\)	\(0.001\)
\(k_{0}\)	\(2.702\)	\(3.841\)	\(5.024\)	\(6.635\)	\(7.879\)	\(10.828\)