知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知曲线C的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=10．曲线 c₁： $\text{[math]}$ （α为参数）．（Ⅰ）求曲线c₁的普通方程；
（Ⅱ）若点M在曲线C₁上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值．

难度：中等

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2．已知抛物线C：y²=4x与直线y=2x-4交于A，B两点．
（1）求弦AB的长度；
（2）若点P在抛物线C上，且△ABP的面积为12，求点P的坐标．

难度：较易

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3．如图建立空间直角坐标系，已知正方体的棱长为2．
（1）求正方体各顶点的坐标；
（2）求A₁C的长度．

难度：易

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4．已知点P（2，-1），求：
（1）过P点与原点距离为2的直线l的方程；
（2）过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
（3）是否存在过P点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．

难度：较易

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5．根据下列条件，求直线方程
（1）经过点A（3，0）且与直线2x+y-5=0垂直．
（2）经过点B（5，10）且到原点的距离为5．

难度：较易

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6．【坐标系与参数方程】设直线l的参数方程为
x=2+t
y=2t
（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=
8cosθ
sin2θ
．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；
（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|．

难度：较难

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7．在直角坐标系xOy中，设动点P到定点F（1，0）的距离与到定直线l：x=﹣1的距离相等，记P的轨迹为Γ．又直线AB的一个方向向量 $\text{[math]}$ 且过点（1，0），AB与Γ交于A、B两点，求|AB|的长．

难度：中等

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8．过双曲线 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B9%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B16%7D%3D1$ 的右焦点F作倾斜角为 $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$ 的直线交双曲线于A、B两点，求线段AB的中点C到焦点F的距离．

难度：较易

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9．在平面直角坐标系中，已知两圆C₁：（x-1）²+y²=25和C₂：（x+1）²+y²=1，动圆在C₁内部且和圆C₁相内切并和圆C₂相外切，动圆圆心的轨迹为E．
（1）求E的标准方程；
（2）点P为E上一动点，点O为坐标原点，曲线E的右焦点为F，求|PO|²+|PF|²的最小值．

难度：中等

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10．在平面直角坐标系xOy内有两个定点M（-
6
，0），N（
6
，0），动点P满足|
PM
|+|
PN
|=4
2
，记点P的轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（Ⅱ）判断是否存在点P，使得|PM|，|MN|，|PN|成等比数列？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设点A，B是曲线C上的两点，且|AB|=
8
3
，求△AOB面积的取值范围．

难度：较难

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