知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．已知圆O：x²+y²=2，直线l：y=kx-2．
（1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB= $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D$ 时，求k的值．
（2）若 $k%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否过定点；
（3）若EF、GH为圆O：x²+y²=2的两条相互垂直的弦，垂足为M（1， $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ），求四边形EGFH的面积的最大值．

难度：中等

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2．已知椭圆c： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ $%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0），左、右两个焦点分别为F₁、F₂，上顶点A（0，b），△AF₁F₂是正三角形且周长为6．
（1）求椭圆C的标准方程及离心率；
（2）O为坐标原点，P是直线F₁A上的一个动点，求|PF₂|+|PO|的最小值，并求出此时点P的坐标．

难度：中等

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3．选修4-4：坐标系与参数方程
极坐标系中，已知圆心 $C%283%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B6%7D%29$ ，半径r=1
（1）求圆的极坐标方程；
（2）若直线 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%3D-1%2B%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7Dt%7D%7By%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dt%7D%5Cend%7Bcases%7D%28t%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E5%8F%82%E6%95%B0%7D%29$ 与圆交于A，B两点，求AB的中点C与点P（-1，0）的距离．

难度：中等

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4．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，Ox轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Btan%CF%86%7D%20%5C%5C%20y%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Btan%5E%7B2%7D%CF%86%7D%5Cend%7Bcases%7D$ （φ为参数），曲线C₂的极坐标方程为：ρ（cosθ+sinθ）=1，若曲线C₁与C₂相交于A、B两点．
（Ⅰ）求|AB|的值；
（Ⅱ）求点M（-1，2）到A、B两点的距离之积．

难度：中等

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5．已知以点C（t， $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7Bt%7D$ ）（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．
（Ⅰ）求证：△AOB的面积为定值；
（Ⅱ）设直线2x+y-4=0与圆C交于点M、N，若丨OM丨=丨ON丨，求圆C的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设P、Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C的动点，求丨PB丨+丨PQ丨的最小值及此时点P的坐标．

难度：中等

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6．【坐标系与参数方程】设直线l的参数方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D2%2Bt%20%5C%5C%20y%3D2t%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cend%7Bcases%7D$ （t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ= $%20%5Cfrac%20%7B8cos%CE%B8%7D%7Bsin%5E%7B2%7D%CE%B8%7D$ ．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；
（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|．

难度：中等

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7．已知定点A $%280%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29$ ，点B在圆F： $x%5E%7B2%7D%2B%28y-%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29%5E%7B2%7D%3D16$ 上运动，F为圆心，线段AB的垂直平分线交BF于点P．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）若曲线Q： $x%5E%7B2%7D-2ax%2By%5E%7B2%7D%2Ba%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D$ 被轨迹E包围着，求实数a的最小值；
（3）已知Q（2，0），求|PQ|的最大值．

难度：较易

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8．已知直线l₀：x-y+2=0和圆C：x²+y²+4x-4y+4=0
（Ⅰ）若直线l₀交圆C于A，B两点，求|AB|；
（Ⅱ）求过点P（-4，5）的圆的切线方程．

难度：较易

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9．平面直角坐标系中，直线l的参数方程是 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%3Dt%7D%7By%3D%20%5Csqrt%20%7B3%7Dt%7D%5Cend%7Bcases%7D$ （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ²cos²θ+ρ²sin²θ-2ρsinθ-3=0．
（1）求直线l的极坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．

难度：中等

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10．用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．

难度：中等

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