知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知点A（a，0）（a＞4），点B（0，b）（b＞4），直线AB与圆x²+y²-4x-4y+3=0相交于C、D两点，且|CD|=2．
（1）求（a-4）（b-4）的值；
（2）求线段AB的中点的轨迹方程；
（3）求△AOM的面积S的最小值．

难度：较易

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2．在△ABC中，已知A（0，2），B（2，0），C（-2，-1）
（1）求BC边上的高AH所在的直线方程；
（2）求△ABC的面积．

难度：较易

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3．圆0：x²+y²=8内有一点p（-1，2），AB为过点p且倾斜角为α的弦，
（1）当α=135°时，求AB的长；
（2）当弦AB被点p平分时，写出直线AB的方程．

难度：较易

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4．函数 $f%28x%29%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%EF%BC%8Cx%E2%88%88%5B0%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%29%20%5C%5C%202%281-x%29%EF%BC%8Cx%E2%88%88%5B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%EF%BC%8C1%5D%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cend%7Bcases%7D$ ，定义f（x）的第k阶阶梯函数 $f_%7Bk%7D%28x%29%3Df%28x-k%29-%20%5Cfrac%20%7Bk%7D%7B2%7D%EF%BC%8Cx%E2%88%88%28k%EF%BC%8Ck%2B1%5D$ ，其中k∈N^*，f（x）的各阶梯函数图象的最高点P_k（a_k，b_k），最低点Q_k（c_k，d_k）．
（1）直接写出不等式f（x）≤x的解；
（2）求证：所有的点P_k在某条直线L上．
（3）求证：点Q_k到（2）中的直线L的距离是一个定值．

难度：较易

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5．在平面直角坐标系中，已知点P（1，-1），过点P作抛物线T₀：y=x²的切线，其切点分别为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（其中x₁＜x₂）．
（1）求x₁与x₂的值；
（2）若以点P为圆心的圆与直线MN相切，求圆的面积．

难度：中等

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6．已知抛物线y²=4x的焦点为F，直线l过点M（4，0）．
（Ⅰ）若点F到直线l的距离为 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，求直线l的斜率；
（Ⅱ）设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴重合，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．

难度：中等

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7．已知点P（2，-1）．
（1）直线m经过点P，且在两坐标轴上的截距相等．求直线m的方程：
（2）直线n经过点P．且坐标原点到该直线的距离为2．求直线n的方程．

难度：较易

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8．解答下列问题：
（1）求平行于直线3x+4y-2=0，且与它的距离是1的直线方程；
（2）求垂直于直线x+3y-5=0且与点P（-1，0）的距离是 $%20%5Cfrac%20%7B3%20%5Csqrt%20%7B10%7D%7D%7B5%7D$ 的直线方程．

难度：中等

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9．已知点P（2，-1），求：
（1）过点P且与直线2x-y+3=0平行的直线方程；
（2）过点P且与原点距离为2的直线方程；
（3）过点P且与原点距离最大的直线方程，并求出最大值．

难度：较易

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10．已知点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)(x₁x₂≠0)是抛物线y²=2px(p＞0)上的两个动点，O是坐标原点，向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ 满足 $%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D%7C%3D%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D-%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D%7C$ ，设圆C的方程为x²+y²-(x₁+x₂)x-(y₁+y₂)y=0．
(1)证明线段AB是圆C的直径；
(2)当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为 $%20%5Cfrac%20%7B2%20%5Csqrt%20%7B5%7D%7D%7B5%7D$ 时，求p的值．

难度：难

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