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          共50条信息

            • 1．
              已知抛物线\(C\)：\(x^{2}=2py(p > 0)\)的焦点为\(F\)，直线\(l\)交\(C\)于\(A\)、\(B\)两点．
              \((1)\)若直线\(l\)过焦点\(F\)，过点\(B\)作\(x\)轴的垂线，交直线\(OA\)于点\(M\)，求证：点\(M\)的轨迹为\(C\)的准线；
              \((2)\)若直线\(l\)的斜率为\(1\)，是否存在抛物线\(C\)，使得\(OA\)、\(OB\)的斜率之积\(k_{OA}⋅k_{OB}=-2\)，且\(\triangle OAB\)的面积为\(16\)，若存在，求\(C\)的方程；若不存在，说明理由．
              难度：较易
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            • 2．
              若动点\(P\)到点\(F(1,1)\)和直线\(3x+y-4=0\)的距离相等，则点\(P\)的轨迹方程为\((\)　　\()\)
              A．\(3x+y-6=0\)
              B．\(x-3y+2=0\)
              C．\(x+3y-2=0\)
              D．\(3x-y+2=0\)
              难度：中等
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            • 3．
              如图，已知点\(C\)的坐标是\((2,2)\)过点\(C\)的直线\(CA\)与\(X\)轴交于点\(A\)，过点\(C\)且与直线\(CA\)垂直的直线\(CB\)与\(Y\)轴交于点\(B\)，设点\(M\)是线段\(AB\)的中点，则点\(M\)的轨迹方程为 ______ ．
              难度：易
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            • 4．
              已知点\(M\)与点\(F(4,0)\)的距离比它的直线\(l\)：\(x+6=0\)的距离小\(2\)．
              \((1)\)求点\(M\)的轨迹方程；
              \((2)OA\)，\(OB\)是点\(M\)轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线\(AB\)是否经过\(x\)轴上一定点，若经过，求出该点坐标；若不经过，说明理由．
              难度：中等
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            • 5．
              在平面直角坐标系中\(xOy\)中，动点\(E\)到定点\((1,0)\)的距离与它到直线\(x=-1\)的距离相等．
              \((\)Ⅰ\()\)求动点\(E\)的轨迹\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)设动直线\(l\)：\(y=kx+b\)与曲线\(C\)相切于点\(P\)，与直线\(x=-1\)相交于点\(Q.\)证明：以\(PQ\)为直径的圆恒过\(x\)轴上某定点．
              难度：中等
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            • 6．
              已知点\(A(-4,0)\)，\(B(4,0)\)，过点\(A\)的直线\(m\)与过点\(B\)的直线\(n\)交于点\(P\)，设直线\(m\)斜率为\(k_{1}\)，直线\(n\)斜率为\(k_{2}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)若\(k_{1}k_{2}=a(a\neq 0)\)，点\(P\)的轨迹连同点\(A\)，\(B\)构成了曲线\(E\)，求曲线\(E\)的方程；试根据\(a\)的取值情况，说明曲线\(E\)是何种曲线；
              \((\)Ⅱ\()\)当\(a=- \dfrac {1}{4}\)时，写出曲线\(E\)的方程，若过定点\((2,0)\)的直线\(l\)不与坐标轴重合，且与曲线\(E\)交于\(C\)，\(D\)两点，是否存在直线\(l\)，使以\(CD\)为直径的圆恒过点\(B\)？若存在，求直线\(l\)的方程；若不存在，说明理由．
              难度：中等
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            • 7．
              在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知平行于\(x\)轴的动直线\(l\)交抛物线\(C\)：\(y^{2}=4x\)于点\(P\)，点\(F\)为\(C\)的焦点\(.\)圆心不在\(y\)轴上的圆\(M\)与直线\(l\)，\(PF\)，\(x\)轴都相切，设\(M\)的轨迹为曲线\(E\)．
              \((1)\)求曲线\(E\)的方程；
              \((2)\)若直线\(l_{1}\)与曲线\(E\)相切于点\(Q(s,t)\)，过\(Q\)且垂直于\(l_{1}\)的直线为\(l_{2}\)，直线\(l_{1}\)，\(l_{2}\)分别与\(y\)轴相交于点\(A\)，\(B.\)当线段\(AB\)的长度最小时，求\(s\)的值．
              难度：中等
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            • 8．

              在平面直角坐标系\(xOy\)中，动点\(E\)到定点\(\left( 1,0 \right)\)的距离与它到直线\(x=-1\)的距离相等．

              \((1)\)求动点\(E\)的轨迹\(C\)的方程；

              \((2)\)设动直线\(l:y=kx+b\)与曲线\(C\)相切于点\(P\)，与直线\(x=-1\)相交于点\(Q\)．

              证明：以\(PQ\)为直径的圆恒过\(x\)轴上某定点．

              难度：中等
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            • 9．

              正方体\(ABCD-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\)中，\(M\)为侧面\(AB{{B}_{1}}{{A}_{1}}\)所在平面上的一个动点，且\(M\)到平面\(AD{{D}_{1}}{{A}_{1}}\)的距离与\(M\)到直线\(BC\)距离相等，则动点\(M\)的轨迹为\((\)　　\()\)

              A．抛物线             
              B．双曲线              
              C．圆               
              D．椭圆
              难度：中等
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            • 10．

              已知圆\(O\)：\(x^{2}+y^{2}=4\)，点\(A(- \sqrt{3},0)\)，\(B( \sqrt{3},0)\)，以线段\(AP\)为直径的圆\(C_{1}\)内切于圆\(O.\)记点\(P\)的轨迹为\(C_{2}\)．

              \((1)\)证明：\(|AP|+|BP|\)为定值，并求\(C_{2}\)的方程；

              \((2)\)过点\(O\)的一条直线交圆\(O\)于\(M\)，\(N\)两点，点\(D(-2,0)\)，直线\(DM\)，\(DN\)与\(C_{2}\)的另一个交点分别为\(S\)，\(T.\)记\(\triangle DMN\)，\(\triangle DST\)的面积分别为\(S_{1}\)，\(S_{2}\)，求\( \dfrac{S_{1}}{S_{2}}\)的取值范围．

              难度：难
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