知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知F₁（-2，0），F₂（2，0），点P满足|PF₁|-|PF₂|=2，记点P的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程；
（2）若直线l过点F₂且与轨迹E交于P、Q两点．
（i）无论直线l绕点F₂怎样转动，在x轴上总存在定点M（m，0），使MP⊥MQ恒成立，求实数m的值．
（ii）在（i）的条件下，求△MPQ面积的最小值．

难度：中等

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2．如图，椭圆x²+ $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D$ =1的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B为顶点，焦距
为2 $%20%5Csqrt%20%7B5%7D$ ，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点．
（1）求双曲线Γ的方程；
（2）求点M的纵坐标y_M的取值范围；
（3）是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由．

难度：较难

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3．

设圆（x+1）²+y²=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为（　　）

A． $%20%5Cfrac%20%7B4x%5E%7B2%7D%7D%7B21%7D-%20%5Cfrac%20%7B4y%5E%7B2%7D%7D%7B25%7D%3D1$

B． $%20%5Cfrac%20%7B4x%5E%7B2%7D%7D%7B21%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B4y%5E%7B2%7D%7D%7B25%7D%3D1$

C． $%20%5Cfrac%20%7B4x%5E%7B2%7D%7D%7B25%7D-%20%5Cfrac%20%7B4y%5E%7B2%7D%7D%7B21%7D%3D1$

D． $%20%5Cfrac%20%7B4x%5E%7B2%7D%7D%7B25%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B4y%5E%7B2%7D%7D%7B21%7D%3D1$

难度：较易

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4．已知动点P与平面上两定点 $A%28-%20%5Csqrt%20%7B2%7D%EF%BC%8C0%29%EF%BC%8CB%28%20%5Csqrt%20%7B2%7D%EF%BC%8C0%29$ 连线的斜率的积为定值- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ．
（1）试求动点P的轨迹方程C；
（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M．N两点，当|MN|= $%20%5Cfrac%20%7B4%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B3%7D$ 时，求直线l的方程．

难度：较难

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5．已知定点A（-3，0），MN分别为x轴、y轴上的动点（M、N不重合），且AN⊥MN，点P在直线MN上， $%20%5Coverrightarrow%20%7BNP%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D%20%5Coverrightarrow%20%7BMP%7D$ ．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设点Q是曲线x²+y²-8x+15=0上任一点，试探究在轨迹C上是否存在点T？使得点T到点Q的距离最小，若存在，求出该最小距离和点T的坐标，若不存在，说明理由．

难度：中等

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6．

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点M在棱AB上，且AM= $%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D$ ，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A₁D₁的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（　　）

A．圆

B．抛物线

C．双曲线

D．直线

难度：较易

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7．如图，已知椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%2By%5E%7B2%7D%3D1$ 的焦点为F₁、F₂，点P为椭圆上任意一点，过F₂作∠F₁PF₂的外角平分线的垂线，垂足为点Q，过点Q作y轴的垂线，垂足为N，线段QN的中点为M，则点M的轨迹方程为 ______ ．

难度：较难

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8．以下五个关于圆锥曲线的命题中：
①平面内到定点A（1，0）和定直线l：x=2的距离之比为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ 的点的轨迹方程是 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B3%7D%3D1$ ；
②点P是抛物线y²=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M点A的坐标是A（3，6），则|PA|+|PM|的最小值是6；
③平面内到两定点距离之比等于常数λ（λ＞0）的点的轨迹是圆；
④若动点M（x，y）满足 $%20%5Csqrt%20%7B%28x-1%29%5E%7B2%7D%2B%28y%2B2%29%5E%7B2%7D%7D%3D%7C2x-y-4%7C$ ，则动点M的轨迹是双曲线；
⑤若过点C（1，1）的直线l交椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B3%7D%3D1$ 于不同的两点A，B，且C是AB的中点，则直线l的方程是3x+4y-7=0．
其中真命题的序号是 ______ ．（写出所有真命题的序号）

难度：较难

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9．已知点M（4，0）、N（1，0），若动点P满足 $%20%5Coverrightarrow%20%7BMN%7D%C2%A0%5Ccdot%20%C2%A0%20%5Coverrightarrow%20%7BMP%7D%3D6%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BNP%7D%7C$ ．
（1）求动点P的轨迹C；
（2）在曲线C上是否存在点Q，使得△MNQ的面积 $S_%7B%E2%96%B3MNQ%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$ ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．

难度：较易

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10．已知三角形△ABC的两顶点为B（-2，0），C（2，0），它的周长为10，求顶点A轨迹方程．

难度：较易

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