已知圆\({{F}_{1}}\)：\({{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=36\)，定点\({{F}_{2}}\left( 2,0 \right)\)，\(A\)是圆\({{F}_{1}}\)上的一动点，线段\({{F}_{2}}A\) 的垂直平分线交半径\({{F}_{1}}A\)于\(P\)点，则\(P\)点的轨迹\(C\)的方程是\((\)   \()\)

已知椭圆\(E:\dfrac{{{x}^{2}}}{3}+{{y}^{2}}=1\)上任意一点\(P\)，过点\(P\)作\(PQ\bot y\)轴，\(Q\)为垂足，且\(\overrightarrow{QM}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\overrightarrow{QP}.\)

\((\)Ⅰ\()\)求动点\(M\)的轨迹\(\Gamma \)的方程；

\((\)Ⅱ\()\)设直线\(l\)与曲线\(\Gamma \)相切，且与椭圆\(E\)交于\(A,B\)两点，求\(\Delta OAB\)面积的最大值\((O\)为坐标原点\()\)．

已知点\(A(1,0)\)，点\(B\)在圆\(O\)：\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\)上运动，若点\(C\)满足\(2\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\)，则点\(C\)的轨迹是

已知椭圆\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\(\dfrac{1}{2}\)，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线\(x-y+\sqrt{6}=0\)相切，过点\(P(4,0)\)且不垂直于\(x\)轴的直线\(l\)与椭圆\(C\)相交于\(A\)，\(B\)两点．

\((1)\)求椭圆\(C\)的方程；

\((2)\)求\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}\)的取值范围．

当点\(P\)在圆\({x}^{2}+{y}^{2}=1 \)上变动时，它与定点\(Q\left(3,0\right) \)相连，线段\(PQ\)的中点\(M\)的轨迹方程是

在直角坐标系\(xOy\)中，曲线\(C_{1}\)的参数方程为\(\begin{cases}x=2\cos α \\ y=2+2\sin α\end{cases} \)，\((α\)为参数\()\)，\(M\)是\(C_{1}\)上动点，\(P\)点满足\(\overrightarrow{OP} =2\overrightarrow{OM} \)，\(P\)点的轨迹为曲线\(C_{2}\)

\((1)\)求\(C_{2}\)的方程；

\((2)\)在以\(O\)为极点，\(x\)轴正半轴为极轴的极坐标系中，射线\(θ=\dfrac{π}{3} \)与\(C_{1}\)的异于极点的交点为\(A\)，与\(C_{2}\)的异于极点的交点为\(B\)，求\(|AB|\)；

\((3)\)若直线\(l\)：\(\begin{cases}x=4- \sqrt{3}t \\ y=-t\end{cases} (t\)为参数\()\)和曲线\(C_{2}\)交于\(E\)、\(F\)两点，且\(EF\)的中点为\(G\)，又点\(H(4,0)\)，求\(|HG|\)．