知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知直线l：
x=1+
1
2
t
y=
3
2
t
（t为参数），曲线C₁：
x=cosθ
y=sinθ
（θ为参数）．
（Ⅰ）设l与C₁相交于A，B两点，求|AB|；
（Ⅱ）若把曲线C₁上各点的横坐标压缩为原来的
1
2
倍，纵坐标压缩为原来的
3
2
倍，得到曲线C₂，设点P是曲线C₂上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

难度：中等

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2．已知点M（3，1），圆（x-1）²+（y-2）²=4．
（1）求过M点的圆的切线方程；
（2）若直线ax-y+4=0与圆相交于A、B两点，且弦AB的长为2
3
，求a的值．

难度：中等

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3．直线y=x+2被圆M：x²+y²-4x-4y-1=0所截得的弦长为．

难度：中等

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4．已知直线l₁：mx-（m+1）y-2=0，l₂：x+2y+1=0，l₃：y=x-2是三条不同的直线，其中m∈R．
（Ⅰ）求证：直线l₁恒过定点，并求出该点的坐标；
（Ⅱ）若l₂，l₃的交点为圆心，2
3
为半径的圆C与直线l₁相交于A，B两点，求|AB|的最小值．

难度：中等

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5．已知圆C₁：x²+（y+5）²=5，设圆C₂为圆C₁关于直线l对称的圆，则在x轴上是否存在点P，使得P到两圆的切线长之比为
2
？荐存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

难度：较难

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6．已知圆C1：x2+y2-4x-2y-5=0，圆C2：x2+y2-6x-y-9=0．
（1）求两圆公共弦所在直线的方程；
（2）直线ι过点（4，-4）与圆C₁相交于A，B两点，且|AB|=2
6
，求直线ι的方程．

难度：中等

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7．已知圆（x-2）²+y²=9和直线y=kx交于A，B两点，O是坐标原点，若
OA
+2
OB
=
O
，则|
AB
|= ．

难度：较易

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8．给定圆C：x²+y²=4，过点P（1，0）作两条互相垂直的直线与C分别交于A、B和M，N，则
|AB|
|MN|
+
|MN|
|AB|
的最大值是．

难度：中等

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9．已知圆C：x²+y²-4x+2y+1=0，直线l：y=kx-1．
（1）当k为何值时直线l过圆心；
（2）是否存在直线l与圆C交于A，B两点，且△ABC的面积为2？如果存在，求出直线l的方程，如果不存在，请说明理由；
（3）设P（x，y）为圆C上一动点，求
y+3
x+1
的最值．

难度：中等

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10．圆C₁：x²+y²=1与圆C₂：x²+y²-2x-2y+1=0的公共弦所在直线被圆C₃：(x-1)2+(y-1)2=
25
4
所截得的弦长是．

难度：中等

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