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          共50条信息

            • 1．
              在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=l\) \((a > b > 0)\)的焦距为\(2\)，离心率为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，椭圆的右顶点为\(A\)．
              \((1)\)求该椭圆的方程：
              \((2)\)过点\(D( \sqrt {2},- \sqrt {2})\)作直线\(PQ\)交椭圆于两个不同点\(P\)，\(Q\)，求证：直线\(AP\)，\(AQ\)的
              斜率之和为定值．
              难度：难
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            • 2．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)过点\((2,0)\)，且椭圆\(C\)的离心率为\( \dfrac {1}{2}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)若动点\(P\)在直线\(x=-1\)上，过\(P\)作直线交椭圆\(C\)于\(M\)，\(N\)两点，且\(P\)为线段\(MN\)中点，再过\(P\)：作直线\(l⊥MN.\)求直线\(l\)是否恒过定点，如果是则求出该定点的坐标，不是请说明理由．
              难度：较易
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            • 3．
              已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{5}+y^{2}=1\)的右焦点为\(F\)，原点为\(O\)，椭圆\(C\)的动弦\(AB\)过焦点\(F\)且不垂直于坐标轴，弦\(AB\)的中点为\(N\)，过\(F\)且垂直于线段\(AB\)的直线交射线\(ON\)于点\(M\)．
              \((1)\)证明：点\(M\)在定直线上；
              \((2)\)当\(∠OMF\)最大时，求\(\triangle MAB\)的面积．
              难度：较易
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            • 4．
              已知椭圆\(C\)的中心在原点，焦点在\(x\)轴上，焦距为\(2\)，且长轴长是短轴长的\( \sqrt {2}\)倍\(.\)
              \((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((2)\)设\(P(2,0)\)，过椭圆\(C\)左焦点\(F\)作斜率\(k\)直线\(l\)交\(C\)于\(A\)，\(B\)两点，若\(S_{\triangle ABP}= \dfrac { \sqrt {10}}{2}\)，求直线\(l\)的方程．
              难度：较易
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            • 5．
              已知椭圆\(E： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)经过点\(P(- \sqrt {3}, \dfrac {1}{2})\)，椭圆\(E\)的一个焦点为\(( \sqrt {3},0)\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(E\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)若直线\(l\)过点\(M(0, \sqrt {2})\)且与椭圆\(E\)交于\(A\)，\(B\)两点，求\(|AB|\)的最大值．
              难度：中等
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            • 6．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，上顶点\(M\)到直线\( \sqrt {3}x+y+4=0\)的距离为\(3\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)设直线\(l\)过点\((4,-2)\)且与椭圆\(C\)相交于\(A\)，\(B\)两点，\(l\)不经过点\(M\)，证明：直线\(MA\)的斜率与直线\(MB\)的斜率之和为定值．
              难度：较易
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            • 7．
              已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的长轴为\(4\)，短轴为\(2\)．
              \((I)\)求椭圆的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)直线\(l\)：\(y=x+m\)与椭圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，若点\(M(-1,y_{0})\)是线段\(AB\)的中点，求直线\(l\)的方程．
              难度：较易
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            • 8．
              已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的一个顶点坐标为\(B(0,1)\)，若该椭圆的离心等于\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，
              \((I)\)求椭圆的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)点\(Q\)是椭圆\(C\)上位于\(x\)轴下方一点，\(F_{1}\)，\(F_{2}\)分别是椭圆的左、右焦点，直线\(QF_{1}\)的倾斜角为\( \dfrac {π}{6}\)，求\(\triangle QF_{1}F_{2}\)的面积．
              难度：较易
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            • 9．
              设椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{2}+y^{2}=1\)的右焦点为\(F\)，过\(F\)的直线\(l\)与\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，点\(M\)的坐标为\((2,0)\)．
              \((1)\)当\(l\)与\(x\)轴垂直时，求直线\(AM\)的方程；
              \((2)\)设\(O\)为坐标原点，证明：\(∠OMA=∠OMB\)．
              难度：较难
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            • 10．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)，三点\(P_{1}(1, \dfrac {3}{2})\)，\(P_{2}( \dfrac {1}{2},- \dfrac { \sqrt {3}}{2}).P_{3}(-1,- \dfrac {3}{2})\)中恰有二点在椭圆\(C\)上，且离心率为\(e= \dfrac {1}{2}\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)设\(P\)为椭圆\(C\)上任一点，\(A_{1}A_{2}\)为椭圆\(C\)的左右顶点，\(M\)为\(PA_{2}\)中点，求证：直线\(PA_{2}\)与直线\(OM\)它们的斜率之积为定值；
              \((3)\)若椭圆\(C\)的右焦点为\(F\)，过\(B(4,0)\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)交于\(D\)，\(E\)，求证：直线\(FD\)与直线\(FE\)关于直线\(x=1\)对称．
              难度：较易
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