知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)经过点\(M(2, \sqrt {2})\)，且离心率为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)．
\((\)Ⅰ\()\)求\(a\)，\(b\)的值，并写出椭圆\(C\)的方程；
\((\)Ⅱ\()\)设\(A\)，\(B\)分别为椭圆\(C\)的左、右顶点，在椭圆\(C\)上有异于\(A\)，\(B\)的动点\(P\)，若直线\(PA\)，\(PB\)与直线\(l\)：\(x=m(m\)为常数\()\)分别交于不同的两点\(M\)，\(N\)，则当点\(P\)运动时，以\(MN\)为直径的圆是否经过定点？

难度：较易

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2．
过椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{2}+y^{2}=1\)的右焦点\(F\)的直线\(l\)交椭圆于\(A\)，\(B\)两点，\(M\)是\(AB\)的中点．
\((1)\)求动点\(M\)的轨迹方程；
\((2)\)过点\(M\)且与直线\(l\)垂直的直线和坐标轴分别交于\(D\)，\(E\)两点，记\(\triangle MDF\)的面积为\(S_{1}\)，\(\triangle ODE\)的面积为\(S_{2}\)，试问：是否存在直线\(l\)，使得\(S_{1}=S_{2}\)？请说明理由．

难度：较易

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3．
已知椭圆\(C\)的两个焦点为\(F_{1}(-1,0)\)，\(F_{2}(1,0)\)，且经过点\(E(1, \dfrac {3}{2})\)．
\((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
\((2)\)过\(F_{1}\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点\((\)点\(A\)位于\(x\)轴上方\()\)，若\( \overrightarrow{AF_{1}}=λ \overrightarrow{F_{1}B}\)，且\( \dfrac {5}{3}\leqslant λ\leqslant \dfrac {7}{3}\)，求直线\(l\)的斜率\(k\)的取值范围．

难度：中等

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4．
已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率\(e= \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，右焦点为\(F\)，过点\(B(0,-b)\)和点\(F\)的直线与原点的距离为\(1\)．
\((1)\)求此椭圆的方程；
\((2)\)过该椭圆的左顶点\(A\)作直线\(l\)，分别交椭圆和圆\(x^{2}+y^{2}=a^{2}\)于相异两点\(P\)、\(Q.\)若\(|PQ|=λ|AP|\)，则实数 \(λ\) 的取值范围．

难度：较易

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5．
已知过点\(A(0,1)\)的椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左右焦点分别为\(F_{1}\)、\(F_{2}\)，\(B\)为椭圆上的任意一点，且\( \sqrt {3}|BF_{1}|\)，\(|F_{1}F_{2}|\)，\( \sqrt {3}|BF_{2}|\)成等差数列．
\((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程；
\((2)\)直线\(l\)：\(y=k(x+2)\)交椭圆于\(P\)，\(Q\)两点，若点\(A\)始终在以\(PQ\)为直径的圆外，求实数\(k\)的取值范围．

难度：较难

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6．
椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左右焦点分别为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，且离心率为\( \dfrac {1}{2}\)，点\(P\)为椭圆上一动点，\(\triangle F_{1}PF_{2}\)内切圆面积的最大值为\( \dfrac {π}{3}\)．
\((1)\)求椭圆的方程；
\((2)\)设椭圆的左顶点为\(A_{1}\)，过右焦点\(F_{2}\)的直线\(l\)与椭圆相交于\(A\)，\(B\)两点，连结\(A_{1}A\)，\(A_{1}B\)并延长交直线\(x=4\)分别于\(P\)，\(Q\)两点，以\(PQ\)为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．

难度：较易

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7．
已知点\(M\)，\(N\)分别是椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左右顶点，\(F\)为其右焦点，\(|MF|\)与\(|FN|\)的等比中项是\( \sqrt {3}\)，椭圆的离心率为\( \dfrac {1}{2}\)．
\((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
\((2)\)设不过原点\(O\)的直线\(l\)与该轨迹交于\(A\)，\(B\)两点，若直线\(OA\)，\(AB\)，\(OB\)的斜率依次成等比数列，求\(\triangle OAB\)面积的取值范围．

难度：难

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8．
已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点\(D(1, \dfrac {3}{2})\)在椭圆\(C\)上，直线\(l\)：\(y=kx+m\)与椭圆\(C\)相交于\(A\)，\(P\)两点，与\(x\)轴，\(y\)轴分别相交于点\(N\)和\(M\)，且\(|PM|=|MN|\)，点\(Q\)是点\(P\)关于\(x\)轴的对称点，\(QM\)的延长线交椭圆\(C\)于点\(B\)，过点\(A\)，\(B\)分别作\(x\)轴的垂线，垂足分别为\(A_{1}\)，\(B_{1}\)．
\((1)\)求椭园\(C\)的方程
\((2)\)是否存在直线\(l\)，使得点\(N\)平分线段\(A_{1}B_{1}\)？若存在，求出直线\(l\)的方程；若不存在，请说明理由

难度：中等

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9．
如图，在平面直角坐标系\(xOy\)中，椭圆\(E\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左、右焦点分别为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，离心率为\( \dfrac {1}{2}\)，两准线之间的距离为\(8.\)点\(P\)在椭圆\(E\)上，且位于第一象限，过点\(F_{1}\)作直线\(PF_{1}\)的垂线\(l_{1}\)，过点\(F_{2}\)作直线\(PF_{2}\)的垂线\(l_{2}\)．
\((1)\)求椭圆\(E\)的标准方程；
\((2)\)若直线\(l_{1}\)，\(l_{2}\)的交点\(Q\)在椭圆\(E\)上，求点\(P\)的坐标．

难度：难

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10．
已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，四个顶点构成的四边形的面积是\(4\)；
\((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
\((2)\)设\(A\)、\(B\)是椭圆上、下两个顶点，\(M\)是椭圆上异于\(A\)，\(B\)的任意一点，过点\(M\)作\(MN⊥y\)轴于\(N\)，\(E\)为线段\(MN\)的中点，直线\(AE\)与直线\(y=-1\)交于点\(C\)，\(G\)为线段\(BC\)的中点，\(O\)为坐标原点，求\(∠OEG\)的大小．

难度：较易

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