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          共50条信息

            • 1．
              已知圆锥曲线\(C\)：\( \begin{cases} x=2\cos α \\ y= \sqrt {3}\sin α\end{cases}(α\)为参数\()\)和定点\(A(0, \sqrt {3})\)，\(F_{1}\)、\(F_{2}\)是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点\(O\)为极点，以\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
              \((1)\)求直线\(AF_{2}\)的直角坐标方程；
              \((2)\)经过点\(F_{1}\)且与直线\(AF_{2}\)垂直的直线\(l\)交此圆锥曲线于\(M\)、\(N\)两点，求\(||MF_{1}|-|NF_{1}||\)的值．
              难度：中等
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            • 2．
              已知椭圆\(C\)的中心在原点，其中一个焦点与抛物线\(y^{2}=4x\)的焦点重合，点\((1, \dfrac {3}{2})\)在椭圆\(C\)上．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)设椭圆的左右焦点分别为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，过\(F_{2}\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)相交于\(A\)，\(B\)两点，若\(\triangle AF_{1}B\)的面积为\( \dfrac {6 \sqrt {3}}{5}\)，求以\(F_{1}\)为圆心且与直线\(l\)相切的圆的方程．
              难度：较易
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            • 3．
              已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)上有一点 \(P\)满足到椭圆的两个焦点\(F_{1}\)，\(F_{2}\)的距离\(|PF_{1}|+|PF_{2}|=10\)，离心率\(e= \dfrac {4}{5}\)．
              \((1)\)求椭圆的标准方程．
              \((2)\)若\(∠F_{1}PF_{2}=60^{\circ}\)，求\(\triangle F_{1}PF_{2}\)的面积．
              难度：较易
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            • 4．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac {1}{2}\)，直线\(l\)：\(x+2y=4\)与椭圆有且只有一个交点\(T\)．
              \((I)\)求椭圆\(C\)的方程和点\(T\)的坐标；
              \((\)Ⅱ\()O\)为坐标原点，与\(OT\)平行的直线\(l′\)与椭圆\(C\)交于不同的两点\(A\)，\(B\)，直线\(l′\)与直线\(l\)交于点\(P\)，试判断\( \dfrac {|PT|^{2}}{|PA|\cdot |PB|}\)是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由．
              难度：较易
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            • 5．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac {1}{2}\)，以原点\(O\)为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线\(x-y+ \sqrt {6}=0\)相切．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((2)\)若直线\(l\)：\(y=kx+m\)与椭圆\(C\)相交于\(A\)、\(B\)两点，且\(k_{OA}⋅k_{OB}=- \dfrac {3}{4}.\)求证：\(\triangle AOB\)的面积为定值．
              难度：较易
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            • 6．
              已知斜率为\(k\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{4}+ \dfrac {y^{2}}{3}=1\)交于\(A\)，\(B\)两点，线段\(AB\)的中点为\(M(1,m)(m > 0)\)．
              \((1)\)证明：\(k < - \dfrac {1}{2}\)；
              \((2)\)设\(F\)为\(C\)的右焦点，\(P\)为\(C\)上一点，且\( \overrightarrow{FP}+ \overrightarrow{FA}+ \overrightarrow{FB}= \overrightarrow{0}.\)证明：\(| \overrightarrow{FA}|\)，\(| \overrightarrow{FP}|\)，\(| \overrightarrow{FB}|\)成等差数列，并求该数列的公差．
              难度：较易
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            • 7．
              已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，点\(( \sqrt {2}, \dfrac { \sqrt {2}}{2})\)在\(C\)上．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)若直线\(l\)与椭圆\(C\)交于\(P\)，\(Q\)两点，\(O\)为坐标原点，且\(OP⊥OQ\)，求\(\triangle OPQ\)面积的最小值．
              难度：较易
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            • 8．

              已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)过抛物线\(M\)：\(x^{2}=4y\)的焦点\(F\)，\(F_{1}\)，\(F_{2}\)分别是椭圆\(C\)的左、右焦点，且\( \overrightarrow{F_{1}F}\cdot \overrightarrow{F_{1}F_{2}}=6\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((2)\)若直线\(l\)与抛物线\(M\)相切，且与椭圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，求\(\triangle OAB\)面积的最大值．
              难度：难
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            • 9．
              已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)过点\((0,-1)\)，离心率\(e= \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)已知点\(P(m,0)\)，过点\((1,0)\)作斜率为\(k(k\neq 0)\)直线\(l\)，与椭圆交于\(M\)，\(N\)两点，若\(x\)轴平分\(∠MPN\)，求\(m\)的值．
              难度：中等
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            • 10．
              在平面直角坐标系\(xOy\)，已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的右顶点与上顶点分别为\(A\)，\(B\)，椭圆的离心率为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，且过点\((1, \dfrac { \sqrt {3}}{2}).\)
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆的标准方程；
              \((\)Ⅱ\()\)如图，若直线\(l\)与该椭圆交于\(P\)，\(Q\)两点，直线\(BQ\)，\(AP\)的斜率互为相反数，求证：直线\(l\)的斜率为定值．
              难度：较难
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