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          共50条信息

            • 1．
              中心在原点的双曲线\(C\)的右焦点为\(F( \dfrac { \sqrt {6}}{2},0)\)，渐近线方程为\(y=± \sqrt {2}x\)．
              \(( I)\)求双曲线\(C\)的方程；
              \(( II)\)直线\(l\)：\(y=kx-1\)与双曲线\(C\)交于\(P\)，\(Q\)两点，试探究，是否存在以线段\(PQ\)为直径的圆过原点\(.\)若存在，求出\(k\)的值，若不存在，请说明理由．
              难度：较易
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            • 2．
              设双曲线\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{2}- \dfrac {y^{2}}{3}=1\)，\(F_{1}\)，\(F_{2}\)为其左右两个焦点．
              \((1)\)设\(O\)为坐标原点，\(M\)为双曲线\(C\)右支上任意一点，求\( \overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{F_{1}M}\)的取值范围；
              \((2)\)若动点\(P\)与双曲线\(C\)的两个焦点\(F_{1}\)，\(F_{2}\)的距离之和为定值，且\(\cos ∠F_{1}PF_{2}\)的最小值为\(- \dfrac {1}{9}\)，求动点\(P\)的轨迹方程．
              难度：易
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            • 3．
              过双曲线\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0,b > 0)\)的左焦点\(F\)作直线\(l\)与双曲线交于\(A\)，\(B\)两点，使得\(|AB|=4b\)，若这样的直线有且仅有两条，则离心率\(e\)的取值范围是\((\)　　\()\)
              A．\((1, \dfrac { \sqrt {5}}{2})\)
              B．\(( \sqrt {5},+∞)\)
              C．\(( \dfrac { \sqrt {5}}{2}, \sqrt {5})\)
              D．\((1, \dfrac { \sqrt {5}}{2})∪( \sqrt {5},+∞)\)
              难度：中等
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            • 4．
              已知\(F\)是双曲线\( \dfrac {x^{2}}{4}- \dfrac {y^{2}}{12}=1\)的左焦点，\(A(1,4)\)，\(P\)是双曲线右支上的动点，则\(|PF|+|PA|\)的最小值为 ______ ．
              难度：难
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            • 5．
              已知中心在原点的双曲线\(C\)的右焦点为\((2,0)\)，实轴长\(2 \sqrt {3}\)．
              \((1)\)求双曲线的方程
              \((2)\)若直线\(l\)：\(y=kx+ \sqrt {2}\)与双曲线恒有两个不同的交点\(A\)，\(B\)，且\(∠AOB\)为锐角\((\)其中\(O\)为原点\()\)，求\(k\)的取值范围．
              难度：较易
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            • 6．
              已知\(F_{1}\)，\(F_{2}\)分别是双曲线\( \dfrac {x^{2}}{4}- \dfrac {y^{2}}{3}=1\)的左右焦点，过\(F_{1}\)的直线\(l\)与双曲线的左、右两支分别交于\(B\)、\(A\)两点，若\(\triangle ABF_{2}\)为等边三角形，则\(\triangle AF_{1}F_{2}\)的面积为 ______ ．
              难度：较易
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            • 7．

              过双曲线\(2x^{2}-y^{2}=2\)的右焦点作直线\(l\)交双曲线于\(A\)，\(B\)两点，若\(|AB|=4\)，则这样的直线有________条。

              难度：中等
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            • 8．

              中心在原点的双曲线\(C\)的右焦点为\(F\left( \dfrac{ \sqrt{6}}{2},0\right) \)，渐近线方程为\(y=\pm \sqrt{2}x\)．

              \((I)\)求双曲线\(C\)的方程；

              \((II)\)直线\(l:y=kx-1\)与双曲线\(C\)交于\(P,Q\)两点，试探究，是否存在以线段\(PQ\)为直径的圆过原点\(.\)若存在，求出\(k\)的值，若不存在，请说明理由．

              难度：难
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            • 9．

              已知经过点\(M(4,1)\)的直线\(l\)交双曲线\({{x}^{2}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{2}-1\)于\(A\)，\(B\)两点，且\(M\)是\(AB\)的中点，则直线\(l\)的方程为________．

              难度：难
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            • 10．

              已知双曲线\(C\)：\(x^{2}-y^{2}=1\)及直线\(l\)：\(y=kx+1\)．

                  \((1)\)若\(l\)与\(C\)有两个不同的交点，求实数\(k\)的取值范围；

                  \((2)\)若\(l\)与\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，且\(AB\)中点的横坐标为\(\sqrt{{2}}\)，求线段\(AB\)的长．

              难度：较易
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