知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图，\({{F}_{1}}\)、\({{F}_{2}}\)是双曲线\(C:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > 0,b > 0)\)的左、右焦点，过\({{F}_{1}}\)的直线\(l\)与双曲线\(C\)的两支分别交于点\(A,B\)，若\(\Delta AB{{F}_{2}}\)为等边三角形，则双曲线\(C\)的离心率为_______．

难度：较难

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2．
过定点\(\left( 2,3 \right)\)的直线与双曲线\({{x}^{2}}-{{y}^{2}}=4\)的右半支只有一个交点，则该直线的倾斜角的取值范围是___________．

难度：较难

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3．已知直线\(l_{1}\)：\( \sqrt{3}x+ \sqrt{10}y-4=0\)为曲线\(C_{1}\)：\( \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的一条切线，直线\(l_{2}\)：\(x-2y-4=0\)为曲线\(C_{2}\)：\( \dfrac{x^{2}}{4a^{2}}+ \dfrac{y^{2}}{2b^{2}}=1\)的一条切线．
\((1)\)求曲线\(C\)\({\,\!}_{1}\)，\(C\)\({\,\!}_{2}\)的方程；

\((2)\)作抛物线\(y\)\({\,\!}^{2}\)\(=2px(p > 0)\)交\(C\)\({\,\!}_{1}\)于\(A\)，\(B\)两点，交\(C\)\({\,\!}_{2}\)于\(C\)，\(D\)两点，当以\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)四点为顶点的凸四边形面积为最大时，求实数\(p\)的值．

难度：较难

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4．

给出以下命题，其中真命题的个数是

\(①\)若“\((\neg p)\)或\(q\)”是假命题，则“\(p\)且\((\neg q)\)”是真命题

\(②\)命题“若\(a+b\neq 5\)，则\(a\neq 2\)或\(b\neq 3\)”为真命题

\(③\)已知空间任意一点\(O\)和不共线的三点\(A\)，\(B\)，\(C\)，若\(\overrightarrow{OP}=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{PA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OC}\)，则\(P\)，\(A\)，\(B\)，\(C\)四点共面；

\(④\)直线\(y=k(x-3)\)与双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\)交于\(A\)，\(B\)两点，若\(|AB|=5\)，则这样的直线有\(3\)条；

A．\(1\)

B．\(2\)

C．\(3\)

D．\(4\)

难度：较难

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5．

设点\(A(0,1)\)，\(B(2,-1)\)，点\(C\)在双曲线\(M:\dfrac{{{x}^{2}}}{4}-{{y}^{2}}=1\)上，则使\(\triangle ABC\)的面积为\(3\)的点\(C\)的个数为

A．\(4\)

B．\(3\)

C．\(2\)

D．\(1\)

难度：难

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6．

已知双曲线\(C: \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}- \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1 \left(a > 0,b > 0\right) \)的离心率为\(\sqrt{5} \)，虚轴长为\(4\)．

\((1)\)求双曲线的标准方程；

\((2)\)过点\(\left(0,1\right) \)，倾斜角为\(45^{\circ} \)的直线\(l\)与双曲线\(C\)相交于\(A\)、\(B\)两点，\(0\)为坐标原点，求\(∆OAB \)的面积．

难度：较难

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7．

\((1)\)等比数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \) 中，\({a}_{1}=-2 \)，\({a}_{5}=-8 \)，则\({a}_{3}= \)________________．

\((2).\)曲线\(f(x)=x\ln x \)在点\(P(1,0) \)处的切线\(l\)与两坐标轴围成的三角形的面积是__________．

\((3).\)已知实数\(x\)，\(y\)满足不等式组\(\begin{cases} x\leqslant 1 \\ x-y+{{m}^{2}}\geqslant 0 \\ x+y-1\geqslant 0 \end{cases}{ }\)，若目标函数\(z=-2x+y \)的最大值不超过\(4\)，则实数\(m\)的取值范围是．

\((4)\)、已知点\(P\)是双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{a}-\dfrac{{{y}^{2}}}{3a}=1(a > 0)\)右支上任意一点，由\(P\)点向两条渐近线引垂线，垂足分别为\(E\)、\(F\)，若\(\triangle PEF\)的面积为\(\dfrac{3\sqrt{3}}{8}\)，则\({a}\)的值为______．

难度：中等

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8．在平面直角坐标系中，\(O\)为坐标原点，给定两点\(A(1,0)\)，\(B(0,-2)\)，点\(C\)满足\( \overrightarrow{OC}=(m \overrightarrow{OA}+n \overrightarrow{OB})\)，其中\(m\)，\(n∈R\)且\(m-2n=1\)．
\((1)\)求点\(C\)的轨迹方程；
\((2)\)设点\(C\)的轨迹与双曲线\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0,b > 0\)且\(a\neq b)\)交于\(M\)、\(N\)两点，且以\(MN\)为直径的圆过原点，求证：\( \dfrac {1}{a^{2}}- \dfrac {1}{b^{2}}\)为定值；
\((3)\)在\((2)\)的条件下，若双曲线的离心率不大于\( \sqrt {3}\)，求双曲线实轴长的取值范围．

难度：难

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9．
已知\({F}_{1},{F}_{2} \)分别是双曲线\(\dfrac{{x}^{2}}{4}- \dfrac{{y}^{2}}{3}=1 \)的左右焦点，过\({F}_{1} \)的直线\(l\)与双曲线的左、右两支分别交于\(B\)，\(A\)两点，若\(∆AB{F}_{2} \)为等边三角形，则\(∆B{F}_{1}{F}_{2} \)的面积为__________．

难度：较易

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10．

已知双曲线\( \dfrac{x^{2}}{a^{2}}- \dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(\)\(a\)\( > 0\)，\(b\)\( > 0)\)的离心率为\(2\)，焦点到渐近线的距离等于\( \sqrt{3}\)，过右焦点\(F\)\({\,\!}_{2}\)的直线\(l\)交双曲线于\(A\)、\(B\)两点，\(F\)\({\,\!}_{1}\)为左焦点．

\((1)\)求双曲线的方程；

\((2)\)若\(\triangle \)\(F\)\({\,\!}_{1}\)\(AB\)的面积等于\(6 \sqrt{2}\)，求直线\(l\)的方程．

难度：难

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