知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知动圆过定点P（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．
（1）求动圆圆心C的轨迹方程；
（2）过点（2，0）的直线l与C相交于A，B两点．求证： $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ 是一个定值．

难度：较易

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2．已知三点O（0，0），R（-2，1），Q（2，1），曲线C上任意一点M（x，y）满足 $%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BMR%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BMQ%7D%7C%3D%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D%5Ccdot%20%28%20%5Coverrightarrow%20%7BOR%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BOQ%7D%29%2B2$ ．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若A，B是曲线C上分别位于点Q两边的任意两点，过A，B分别作曲线C的切线交于点P，过点Q作曲线C的切线分别交直线PA，PB于D，E两点，证明：△QAB与△PDE的面积之比为定值．

难度：较易

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3．已知动圆M过定点E（2，0），且在y轴上截得的弦PQ的长为4．
（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（2）设A，B是轨迹C上的两点，且 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D%3D-4$ ，F（1，0），记S=S_△OFA+S_△OAB，求S的最小值．

难度：较易

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4．已知动点P到点M（-1，0）的距离与它到直线x=1的距离相等．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线l：x+y+1=0与动点P的轨迹交于A，B两点，求弦AB的长．

难度：较易

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5．已知平面内动点C到点F（1，0）的距离比到直线 $x%3D-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ 的距离长 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ．
（1）求动点C的轨迹方程E；
（2）已知点A（4，0），过点A的直线l与曲线E交于不同的两点P，Q，证明：以PQ为直径的圆过原点．

难度：较易

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6．已知点P在抛物线x²=y上运动，过点P作y轴的垂线段PD，垂足为D．动点M（x，y）满足 $%20%5Coverrightarrow%20%7BDM%7D%3D2%20%5Coverrightarrow%20%7BDP%7D$ ，设点M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=-1，若经过点F（0，1）的直线与曲线C相交于A、B两点，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为A₁、B₁，试判断直线A₁F与B₁F的位置关系，并证明你的结论．

难度：中等

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7．平面上动点P到点F（0，1）的距离比它到直线l：y=-2的距离小1．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F作直线与曲线C交于两点A，B，与直线l交于点M，求|MA|•|MB|的最小值．

难度：较易

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8．已知曲线C上的任一点到点F（0，1）的距离减去它到x轴的距离的差都是1．
（1）求曲线C的方程；
（2）设直线y=kx+m（m＞0）与曲线C交于A，B两点，若对于任意k∈R都有 $%20%5Coverrightarrow%20%7BFA%7D$ • $%20%5Coverrightarrow%20%7BFB%7D$ ＜0，求m的取值范围．

难度：较易

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9．已知定点F（0，1），定直线l：y=-1，动圆M过点F，且与直线l相切．
（Ⅰ）求动圆M的圆心轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F的直线与曲线C相交于A，B两点，分别过点A，B作曲线C的切线l₁，l₂，两条切线相交于点P，求△PAB外接圆面积的最小值．

难度：较易

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10．若点P到定点F（4，0）的距离比它到直线x+5=0的距离小1，
（1）求点P的轨迹方程；
（2）已知点A（2，4），为使|PA|+|PF|取得最小值，求点P的坐标及|PA|+|PF|的最小值．

难度：较易

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