知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知直线l：x-my+1-m=0（m∈R），圆C：x²+y²+4x-2y-4=0．
（Ⅰ）证明：对任意m∈R，直线l与圆C恒有两个公共点．
（Ⅱ）过圆心C作CM⊥l于点M，当m变化时，求点M的轨迹Γ的方程．
（Ⅲ）直线l：x-my+1-m=0与点M的轨迹Γ交于点M，N，与圆C交于点A，B，是否存在m的值，使得 $%20%5Cfrac%20%7BS_%7B%E2%96%B3CMN%7D%7D%7BS_%7B%E2%96%B3CAB%7D%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D$ ？若存在，试求出m的值；若不存在，请说明理由．

难度：较易

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2．在平面直角坐标系xoy中，已知点A（-1，1），P是动点，且△POA的三边所在直线的斜率满足k_OP+k_OA=k_PA
（1）求点P的轨迹C的方程
（2）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且 $%20%5Coverrightarrow%20%7BPQ%7D$ =λ $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D$ ，直线OP与QA交于点M．
问：是否存在点P，使得△PQA和△PAM的面积满足S_△PQA=2S_△PAM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

难度：较易

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3．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1）、B（-1，3），若点C满足 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOC%7D$ =α $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D$ +β $%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ ，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为（　　）

A．3x+2y-11=0

B．（x-1）²+（y-2）²=5

C．2x-y=0

D．x+2y-5=0

难度：中等

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4．在平面直角坐标系xOy中，有一个以 $F_%7B1%7D%280%EF%BC%8C-%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29$ 和 $F_%7B2%7D%280%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29$ 为焦点、离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ 的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D%3D%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ ．求：
（Ⅰ）点M的轨迹方程；
（Ⅱ） $%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D%7C$ 的最小值．

难度：较易

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5．已知O是BC所在平面内一定点，点P足 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOP%7D%3D%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%2B%CE%BB%28%20%5Cfrac%20%7B%20%5Coverrightarrow%20%7BAB%7D%7D%7B%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BAB%7D%7CcsB%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B%20%5Coverrightarrow%20%7BAC%7D%7D%7B%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BAC%7D%7CcsC%7D%29$ ，λ（0+∞），则动P的轨一定通过△ABC（　）

A．内心

B．垂心

C．外心

D．重心

难度：中等

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6．在平面直角坐标系内，点A（0，1），B（0，-1），C（1，0），点P满足 $%20%5Coverrightarrow%20%7BAP%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BBP%7D%3Dk%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BPC%7D%7C%5E%7B2%7D$ ．
（1）若k=2，求点P的轨迹方程；
（2）当k=0时，若 $%7C%CE%BB%20%5Coverrightarrow%20%7BAP%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BBP%7D%7C_%7Bmax%7D%3D4$ ，求实数λ的值．

难度：较易

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7．已知点P为圆周x²+y²=4的动点，过P点作PH⊥x轴，垂足为H，设线段PH的中点为E，记点E的轨迹方程为C，点A（0，1）
（1）求动点E的轨迹方程C；
（2）若斜率为k的直线l经过点A（0，1）且与曲线C的另一个交点为B，求△OAB面积的最大值及此时直线l的方程；
（3）是否存在方向向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ =（1，k）（k≠0）的直线l，使得l与曲线C交与两个不同的点M，N，且有| $%20%5Coverrightarrow%20%7BAM%7D$ |= $%20%5Coverrightarrow%20%7BAN%7D$ |？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

难度：中等

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8．已知O是△ABC所在平面内一定点，动点P满足 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOP%7D%3D%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%2B%CE%BB%28%20%5Cfrac%20%7B%20%5Coverrightarrow%20%7BAB%7D%7D%7B%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BAB%7D%7CcosB%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B%20%5Coverrightarrow%20%7BAC%7D%7D%7B%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BAC%7D%7CcosC%7D%29$ ，λ∈（0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（　　）

A．内心

B．垂心

C．外心

D．重心

难度：中等

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9．在平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，AD=2AB，若P是平面ABCD内一点，且满足 $x%20%5Coverrightarrow%20%7BAB%7D%2By%20%5Coverrightarrow%20%7BAD%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BPA%7D%3D%20%5Coverrightarrow%20%7B0%7D$ （x，y∈R），则当点P在以A为圆心， $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B3%7D%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BBD%7D%7C$ 为半径的圆上时，实数x，y应满足关系式为（　　）

A．4x²+y²+2xy=1

B．4x²+y²-2xy=1

C．x²+4y²-2xy=1

D．x²+4y²+2xy=1

难度：中等

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10．已知A（1，0），B（-1，0），P是平面上的一个动点，且满足| $%20%5Coverrightarrow%20%7BPA%7D$ |•| $%20%5Coverrightarrow%20%7BAB%7D$ |= $%20%5Coverrightarrow%20%7BPB%7D$ • $%20%5Coverrightarrow%20%7BAB%7D$ ，
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若直线y=x+m（m≠0）与点P的轨迹交于M，N两点，且 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D$ ⊥ $%20%5Coverrightarrow%20%7BON%7D$ ，求m．

难度：中等

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