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          共50条信息

            • 1．
              如图，三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，侧面\(BB_{1}C_{1}C\)为菱形，\(AB⊥B_{1}\)C.
              \((\)Ⅰ\()\)证明：\(AC=AB_{1}\)；
              \((\)Ⅱ\()\)若\(AC⊥AB_{1}\)，\(∠CBB_{1}=60^{\circ}\)，\(AB=BC\)，求二面角\(A-A_{1}B_{1}-C_{1}\)的余弦值．
              难度：难
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            • 2．
              如图所示，在直三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，平面\(A_{1}BC⊥\)侧面\(A_{1}ABB_{1}\)，且\(AA_{1}=AB=2\)．
              \((1)\)求证：\(AB⊥BC\)；
              \((2)\)若直线\(AC\)与平面\(A_{1}BC\)所成的角的正弦值为\( \dfrac {1}{2}\)，求锐二面角\(A-A_{1}C-B\)的大小．
              难度：较易
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            • 3．
              如图，在平行六面体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(AA_{1}⊥\)平面\(ABCD\)，且\(AB=AD=2\)，\(AA_{1}= \sqrt {3}\)，\(∠BAD=120^{\circ}\)．
              \((1)\)求异面直线\(A_{1}B\)与\(AC_{1}\)所成角的余弦值；
              \((2)\)求二面角\(B-A_{1}D-A\)的正弦值．
              难度：较难
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            • 4．
              在长方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(AB=AD=1\)，\(AA_{1}=2\)，\(M\)为棱\(DD_{1}\)上的一点．
              \((1)\)当\(A_{1}M+MC\)取得最小值时，求证：\(B_{1}M⊥\)平面\(MAC\)；
              \((2)\)若\( \overrightarrow{DD_{1}}=3 \overrightarrow{DM}\)，求二面角\(B-B_{1}C-M\)的正弦值．
              难度：较易
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            • 5．
              一个多面体如图，\(ABCD\)是边长为\(a\)的正方形，\(AB=FB\)，\(FB⊥\)平面\(ABCD\)，\(ED/\!/FB\)．
              \((1)\)若\(DE= \dfrac {1}{2}BF\)，设\(BD\)与\(AC\)的交点为\(O\)，求证：\(OE⊥\)平面\(ACF\)；
              \((2)\)求二面\(E-AF-C\)角的正弦值．
              难度：较易
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            • 6．
              如图，在三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，底面\(ABC\)为边长为\(2 \sqrt {2}\)等边三角形，\(BB_{1}=4\)，\(AC_{1}⊥BB_{1}\)，且\(∠A_{1}B_{1}B=45^{\circ}\)．
              \((I)\)证明：平面\(BCC_{1}B_{1}⊥\)平面\(ABB_{1}A_{1}\)；
              \((\)Ⅱ\()\)求\(B-AC-A_{1}\)二面角的余弦值．
              难度：较易
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            • 7．
              如图，在三棱锥\(P-ABC\)中，\(D\)为\(AC\)中点，\(P\)在平面\(ABC\)内的射影\(O\)在\(AC\)上，\(BC=AB=2AP\)，\(AB⊥BC\)，\(∠PAC=45^{\circ}\)．
              \((1)\)求证：\(AP⊥\)平面\(PBD\)；
              \((2)\)求二面角\(A-PC-B\)的余弦值．
              难度：较易
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            • 8．
              如图，四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)为梯形，\(PD⊥\)底面\(ABCD\)，\(AB/\!/CD\)，\(AD⊥CD\)，\(AD=AB=1\)，\(BC= \sqrt {2}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：平面\(PBD⊥\)平面\(PBC\)；
              \((\)Ⅱ\()\)设\(H\)为\(CD\)上一点，满足\( \overrightarrow{CH}=2 \overrightarrow{HD}\)，若直线\(PC\)与平面\(PBD\)所成的角的正切值为\( \dfrac { \sqrt {6}}{3}\)，求二面角\(H-PB-C\)的余弦值．
              难度：较易
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            • 9．
              如图，边长为\(2\)的正方形\(ABCD\)所在的平面与半圆弧\( \overparen {CD}\)所在平面垂直，\(M\)是\( \overparen {CD}\)上异于\(C\)，\(D\)的点．
              \((1)\)证明：平面\(AMD⊥\)平面\(BMC\)；
              \((2)\)当三棱锥\(M-ABC\)体积最大时，求面\(MAB\)与面\(MCD\)所成二面角的正弦值．
              难度：难
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            • 10．
              如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是矩形，\(PD\)垂直于底面\(ABCD\)，\(PD=AD=2AB\)，点\(Q\)为线段\(PA(\)不含端点\()\)上一点．
              \((1)\)当\(Q\)是线段\(PA\)的中点时，求\(CQ\)与平面\(PBD\)所成角的正弦值；
              \((2)\)已知二面角\(Q-BD-P\)的正弦值为\( \dfrac {2}{3}\)，求\( \dfrac {PQ}{PA}\)的值．
              难度：较易
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