知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，△PAC为等边三角形，PE∥BC，过BC作平面交AP、AE分别于点M、N．
（1）求证：MN∥PE；
（2）设
AN
AP
=λ，求λ 的值，使得平面ABC与平面MNC所成的锐二面角的大小为45°．

难度：中等

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2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，E、F分别是PB、CD的中点，且PB=PC=PD=4．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求证：EF∥平面PAD；
（3）求二面角A-PB-C的余弦值．

难度：中等

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3．己知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形，侧面A₁ACC₁为菱形，∠A₁AC=60°，平面A₁ACC₁⊥平面ABC，N是CC₁的中点．
（I）求证：A₁C⊥BN；
（Ⅱ）求二面角B-A₁N-C的余弦值．

难度：中等

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4．在图1等边三角形ABC中，AB=2，E是线段AB上的点（除点A外），过点E作EF⊥AC于点F，将△AEF 沿EF折起到△PEF（点A与点P重合，如图2），使得∠PFC=
π
3
．
（1）求证：EF⊥PC；
（2）试问，当点E在线段AB上移动时，二面角P-EB-C的大小是否为定值？若是，求出这个二面角的平面角的正切值，若不是，请说明理由．

难度：较难

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5．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q是AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，在线段PC上是否存在点M，使二面角M-BQ-C的大小为60°．若存在，试确定点M的位置，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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6．已知△ABC和△DBC是两个有公共斜边的直角三角形，并且AB=AD=AC=2a，CD=
6
a．
（1）若P是AC边上的一点，当△PBD的面积最小时，求二面角P-BD-A的平面角的正切值；
（2）能否找到一个球，使A，B，C，D都在该球面上，若不能，请说明理由；若能，求该球的内接圆柱的表面积的最大值．

难度：较难

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7．如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）设PA=AB=2，求二面角A-EF-D的余弦值．

难度：中等

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8．如图，直三棱柱ABC-A 11C₁中，AC=BC=1，∠ACB=90°，点D为AB的中点．
（1）求证：BC₁∥面A₁DC；
（2）若AA₁=
2
2
，求二面角A₁-CD-B的平面角的大小．

难度：中等

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9．（2014秋•江岸区校级期中）如图，P为60°的二面角α-l-β内一点，P到二面角两个面的距离分别为2、3，A、B是二面角的两个面内的动点，则△PAB周长的最小值为．

难度：较难

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10．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．
（1）求证：BE∥平面PDF；
（2）求二面角E-AB-D的大小．

难度：中等

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