知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是边长为2的菱形，AA₁=2
3
，BD⊥A₁A，∠BAD=∠A₁AC=60°，点M是棱AA₁的中点．
（Ⅰ）求证：A₁C∥平面BMD；
（Ⅱ）求点C₁到平面BDD₁B₁的距离．

难度：中等

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2．（2016•池州二模）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，∠PCD=90°，PA=AB=AC=2
（I）求证：AC⊥CD；
（Ⅱ）点E在棱PC的中点，求点B到平面EAD的距离．

难度：中等

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3．（2016•郴州二模）如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为A的正三角形，点M在边BC上，△AMC₁是以M为直角顶点的等腰直角三角形．
（1）求证：直线A₁B∥平面AMC₁；
（2）求三棱锥C₁-AB₁M的高．

难度：中等

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4．如图，△BCD与△ECD都是边长为2的正三角形，平面ECD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2
3
．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABE；
（Ⅱ）求点A到平面EBC的距离；
（Ⅲ）求平面ACE与平面BCD所成二面角的正弦值．

难度：中等

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5．如图，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2，
（Ⅰ）求证：AC∥平面BEF；
（Ⅱ）求二面角A-FD-B的正切值；
（Ⅲ）求点D到平面BEF的距离．

难度：中等

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6．如图，已知ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱CC₁的中点，E为A₁B₁的中点．
（1）求证：AB⊥DE；
（2）求直线A₁B₁到平面DAB的距离；
（3）求二面角A-BD-C的正切值．

难度：中等

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7．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=2，AD=4．把△DAC沿对角线AC折起到△PAC的位置，如图2所示，使得点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上，连接PB，点E，F分别为线段PA，PB的中点．
（Ⅰ）求证：平面EFH∥平面PBC；
（Ⅱ）求直线HE与平面PHB所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱PA上是否存在一点M，使得M到P，H，A，F四点的距离相等？请说明理由．

难度：中等

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8．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=4，AD=3，AA₁=2，E，F分别是棱AB，BC上的点，且EB=FB=1．
（1）求异面直线EC₁与FD₁所成角的余弦值；
（2）试在面ABCD上确定一点G，使G到平面D₁EF距离为
11
11
．

难度：较难

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9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，垂足为A，PA=AB，点M在棱PD上，PB∥平面ACM．
（1）试确定点M的位置；
（2）计算直线PB与平面MAC的距离；
（3）设点E在棱PC上，当点E在何处时，使得AE⊥平面PBD？

难度：中等

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10．已知ABCD中，AD=BC．AD∥BC，且AB=3
2
，AD=2
3
．BD=
6
，沿BD将其折成一个二面角A-BD-C，使得AB⊥CD．
（1）求二面角A-BD-C的大小；
（2）求折后点A到面BCD的距离．

难度：中等

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