知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在三棱锥P-ABC中，AP=AB，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC=90°，D，E分别为PB，BC的中点．
（1）求证：DE∥平面PAC；
（2）求证：DE⊥AD．

难度：较难

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2．如图所示，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD， $AB%3DAD%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7DCD%3D2$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7BEM%7D%3D%CE%BB%20%5Coverrightarrow%20%7BEC%7D%280%EF%BC%9C%CE%BB%EF%BC%9C1%29$ ．
（1）当 $%CE%BB%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ 时，求证：BM∥平面ADEF；
（2）若平面BDM与平面ABF所成锐角二面角的余弦值为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B38%7D%7D$ 时，求λ的值．

难度：较易

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3．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAB是正三角形，且平面PAB⊥平面ABCD，E是PA的中点，AC与BD的交点为M．
（1）求证：PC∥平面EBD；
（2）求证：平面BED⊥平面AED．

难度：较易

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4．如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，∠ABC=60°，SA⊥平面ABCD，且SA=4，M在棱SA上，且AM=1，N在棱SD上且SN=2ND．
（Ⅰ）求证：CN∥面BDM；
（Ⅱ）求直线SD与平面BDM所成的角的正弦值．

难度：较易

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5．底面为菱形的直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱A₁B₁、A₁D₁的中点．
（Ⅰ）在图中作一个平面α，使得BD⊂α，且平面AEF∥α，（不必给出证明过程，只要求作出α与直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的截面．）
（II）若AB=AA₁=2，∠BAD=60°，求平面AEF与平面α的距离d．

难度：较易

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6．如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AP⊥BP，AC⊥BC，∠PAB=60°，∠ABC=45°，D是AB中点，E，F分别为PD，PC的中点．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角B-PA-C的余弦值；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在点M，使得CM∥平面AEF？若存在，求 $%20%5Cfrac%20%7BPM%7D%7BPB%7D$ 的值；若不存在，说明理由．

难度：较易

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7．如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：
（1）PA∥平面BDE
（2）PC⊥BD．

难度：较易

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8．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是等边三角形，BC=CC₁，D是A₁C₁中点．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面B₁CD；
（Ⅱ）当三棱锥C-B₁C₁D体积最大时，求点B到平面B₁CD的距离．

难度：较易

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9．如图，多面体ABCDE中，ABCD是矩形，AB=2 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，BC=2，直线DA⊥平面ABE，AE=BE，O为棱AB的中点．
（1）求证：直线BD⊥平面OCE；
（2）在线段BD上是否存在点F，使直线AF∥平面OCE？若存在，求线段DF的长，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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10．如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且 $%E2%88%A0BCD%3D%E2%88%A0BCE%3D%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D$ ，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2
（Ⅰ）证明：AG∥平面BDE；
（Ⅱ）求平面BDE和平面BAG所成锐二面角的余弦值．

难度：较易

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