知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点．求证：
（Ⅰ）直线EF∥平面PCD；
（Ⅱ）平面BEF⊥平面PAD．

难度：较易

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2．如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A₁DE．若M为线段A₁C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中正确是 ______ ．（填序号即可）
①|BM|是定值；
②总有CA₁⊥平面A₁DE成立；
③存在某个位置，使DE⊥A₁C；
④存在某个位置，使MB∥平面A₁DE．

难度：较易

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3．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，则下列结论：
①AD∥平面PBC；
②平面PAC⊥平面PBD；
③平面PAB⊥平面PAC；
④平面PAD⊥平面PDC．
其中正确的结论序号是 ______ ．

难度：较易

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4．如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论正确的是 ______ （写出所以正确结论的序号）
①PB⊥AD；
②平面PAB⊥平面PAE；
③BC∥平面PAE；
④直线PD与直线BC所成的角为45°．

难度：较易

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5．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；
（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

难度：较易

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6．已知直线l⊥平面α，垂足为O，三角形ABC的三边分别为BC=1，AC=2，AB= $%20%5Csqrt%20%7B5%7D$ ．若A∈l，C∈α，则BO的最大值为 ______ ．

难度：较易

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7．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角F-BE-D的余弦值；
（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．

难度：较易

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8．边长为a的正三角形ABC的边AB、AC的中点为E、F，将△AEF沿EF折起，此时A点的新位置A'使平面A'EF⊥平面BCFE，则A'B= ______ ．

难度：较易

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9．如图，菱形ABCD与矩形BDEF所在平面互相垂直，∠BAD= $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ．
（Ⅰ）求证：FC∥平面AED；
（Ⅱ）若BF=k•BD，当二面角A-EF-C为直二面角时，求k的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求直线BC与平面AEF所成的角θ的正弦值．

难度：较易

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10．已知l∥α，且l的方向向量为（2，-8，1），平面α的法向量为（1，y，2），则y= ．

难度：中等

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