知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在四棱锥A-BCED中，AD⊥底面BCED，BD⊥DE，∠DBC=∠BCE═60°，BD=2CE．
（1）若F是AD的中点，求证：EF∥平面ABC；
（2）M、N是棱BC的两个三等分点，求证：EM⊥平面ADN．

难度：较易

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2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC=1，AB=2， $PC%3DPD%3D%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，E为PA中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BED；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的余弦值；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M，使得BM⊥AC？若存在，求 $%20%5Cfrac%20%7BPM%7D%7BPC%7D$ 的值；若不存在，说明理由．

难度：较易

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3．如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=a，点E在棱PC上．
（1）问点E在何处时，PA∥平面EBD，并加以证明；
（2）求二面角C-PA-B的余弦值．

难度：中等

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4．如图所示，已知P，Q分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的面A₁B₁BA和面ABCD的中心，证明：PQ∥平面BCC₁B₁．

难度：较易

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5．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=90°，AD=3BC．
（I）求证：AB⊥PD；
（II）侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明；若不存在，请说明理由．

难度：较易

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6．如图的几何体中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB=2，F为CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求A到平面BCE的距离．

难度：较易

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7．在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，DC=2AB，设Q为棱PC上一点， $%20%5Coverrightarrow%20%7BPQ%7D$ =λ $%20%5Coverrightarrow%20%7BPC%7D$
（1）求证：当λ= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ 时，BQ∥平面PAD；
（2）若PD=1，BC= $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，BC⊥BD，试确定λ的值使得二面角Q-BD-P的平面角为45°．

难度：较易

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8．四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，四边形ABCE为菱形，∠BAD=120°，G、F分别是线段CE，PB上的动点，且满足 $%20%5Cfrac%20%7BPF%7D%7BPB%7D%3D%20%5Cfrac%20%7BCG%7D%7BCE%7D%3D%CE%BB%E2%88%88%280%EF%BC%8C1%29$
（1）求证：FG∥平面PDC；
（2）求λ的值，使得平面PAG⊥平面PCE．

难度：较易

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9．如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，E是BC中点，CB=CD，AB=AD．求证：
（1）BD⊥AC
（2）OE∥平面ADC．

难度：较易

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10．如图，在四棱锥P-ABCD中，锐角三角形PAB所在的平面与底面ABCD垂直，∠PBC=∠BAD=90°．
（1）求证：BC⊥平面PAB；
（2）求证：AD∥平面PBC．

难度：较易

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