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          共50条信息

            • 1．
              如图，三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，侧面\(BB_{1}C_{1}C\)是菱形，其对角线的交点为\(O\)，且\(AB=AC_{1}\)，\(AB⊥B_{1}\)C.
              \((1)\)求证：\(AO⊥\)平面\(BB_{1}C_{1}C\)；
              \((2)\)设\(∠B_{1}BC=60^{\circ}\)，若直线\(A_{1}B_{1}\)与平面\(BB_{1}C_{1}C\)所成的角为\(45^{\circ}\)，求二面角\(A_{1}-B_{1}C-A\)的大小．
              难度：较难
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            • 2．
              如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，四边形\(ABCD\)是直角梯形，\(AB⊥AD\)，\(AB/\!/CD\)，
              \(PC⊥\)底面\(ABCD\)，\(AB=2AD=2CD=4\)，\(PC=2a\)，\(E\)是\(PB\)的中点．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：平面\(EAC⊥\)平面\(PBC\)；
              \((\)Ⅱ\()\)若二面角\(P-AC-E\)的余弦值为\( \dfrac { \sqrt {6}}{3}\)，求直线\(PA\)与平面\(EAC\)所成角的正弦值．
              难度：较易
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            • 3．
              在如图所示的多面体中，\(EA⊥\)平面\(ABC\)，\(DB⊥\)平面\(ABC\)，\(AC⊥BC\)，且\(AC=BC=BD=2AE=2\)，\(M\)是\(AB\)的中点．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(CM⊥EM\)；
              \((\)Ⅱ\()\)求平面\(EMC\)与平面\(BCD\)所成的锐二面角的余弦值；
              \((\)Ⅲ\()\)在棱\(DC\)上是否存在一点\(N\)，使得直线\(MN\)与平面\(EMC\)所成的角为\(60^{\circ}.\)若存在，指出点\(N\)的位置；若不存在，请说明理由．
              难度：较易
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            • 4．

              如图，三棱柱\(ABC-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\)中，\(AB\bot \)平面\(A{{A}_{1}}{{C}_{1}}C\)，\(A{{A}_{1}}=AB=AC=2\)，\(\angle {{A}_{1}}AC={{60}^{{}^\circ }}\)．过\(A{{A}_{1}}\)的平面交\({{B}_{1}}{{C}_{1}}\)于点\(E\)，交\(BC\)于点\(F\)．



              \((\)Ⅰ\()\)求证：\({{A}_{1}}C\bot \)平面\(AB{{C}_{1}}\)；

              \((\)Ⅱ\()\)求证：四边形\(A{{A}_{1}}EF\)为平行四边形；

              \((\)Ⅲ\()\)若\(\dfrac{BF}{BC}=\dfrac{2}{3}\)，求二面角\(B-A{{C}_{1}}-F\)的大小．

              难度：较难
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            • 5．

              如图，在四棱锥\(S-ABCD \)中，己如\(AB/\!/DC \)，\(AB⊥AD \)，\(∆SAD \)是正三角形，\(AD=AB=2DC=2,SC= \sqrt{5},E \)为\(AD\)的中点．


              \((\)Ⅰ\()\)若\(F\)为\(SB\)的中点，求证：\(CF/\!/ \)平面\(SAD\)：
              \((\)Ⅱ\()\)求\(AD\)与平面\(SBC\)所成角的余弦值：
              \((\)Ⅲ\()\)求点\(E\)到平面\(SBC\)的距离．
              难度：难
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            • 6．

              如图，已知四棱锥\(S-ABCD\)中，\(SA⊥\)平面\(ABCD\)，\(∠ABC=∠BCD=90^{\circ}\)，\(SA=AB=BC=2CD=2\)，\(E\)是边\(SB\)的中点．



              \((1)\)求证：\(CE/\!/\)平面\(SAD\)；

              \((2)\)求二面角\(E-CD-B\)的余弦值大小．

              难度：难
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            • 7．

              如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，\(AD/\!/BC\)， \(\angle BAD={{90}^{{}^\circ }}\)，\(PA=PD\)，\(AB\bot PA\)，\(AD=2\)，\(AB=BC=1\)．




              \((\)Ⅰ\()\)求证：平面\(PAD\bot \) 平面\(ABCD\) ；
              \((\)Ⅱ\()\)若\(E\) 为\(PD\) 的中点，求证：\(CE/\!/\) 平面\(PAB\) ；

              \((\)Ⅲ\()\)若\(DC\)与平面\(PAB\)所成的角为\({{30}^{{}^\circ }}\)，求四棱锥\(P-ABCD\)的体积．

              难度：中等
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            • 8．

              如图\(1\)，在梯形\(ABCD\)中，\(AB/\!/CD\)，\(\angle ABC={{90}^{\circ }}\)，\(AB=2CD=2BC=4\)，\(O\)是边\(AB\)的中点\(.\) 将三角形\(AOD\)绕边\(OD\)所在直线旋转到\({{A}_{1}}OD\)位置，使得\(\angle {{A}_{1}}OB={{120}^{\circ }}\)，如图\(2.\) 设\(m\)为平面\({{A}_{1}}DC\)与平面\({{A}_{1}}OB\)的交线．



              \((\)Ⅰ\()\)判断直线\(DC\)与直线\(m\)的位置关系并证明；

              \((\)Ⅱ\()\)若直线\(m\)上的点\(G\)满足\(OG\bot {{A}_{1}}D\)，求出\({{A}_{1}}G\)的长；

              \((\)Ⅲ\()\)求直线\({{A}_{1}}O\)与平面\({{A}_{1}}BD\)所成角的正弦值．\(\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)

              难度：中等
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            • 9．
              如图，在正四棱柱\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，已知\(AB=2\)，\(AA_{1}=5\)，
              E、\(F\)分别为\(D_{1}\)D、\(B_{1}B\)上的点，且\(DE=B_{1}F=1\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(BE⊥\)平面\(ACF\)；
              \((\)Ⅱ\()\)求点\(E\)到平面\(ACF\)的距离．
              难度：较易
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            • 10． 如图几何体\(E-ABCD\)是四棱锥，\(\triangle ABD\)为正三角形，\(∠BCD=120^{\circ}\)，\(CB=CD=CE=1\)，\(AB=AD=AE= \sqrt {3}\)，且\(EC⊥BD\)．
              \((1)\)求证：平面\(BED⊥\)平面\(AEC\)；
              \((2)M\)是棱\(AE\)的中点，求证：\(DM/\!/\)平面\(EBC\)；
              \((3)\)求二面角\(D-BM-C\)的平面角的余弦值．
              难度：中等
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