知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．空间直角坐标系中，点A坐标为（1，
3
，2），且△MNP三个顶点分别满足：M是A在平面xOy上的射影点，N与A关于x轴对称，P与A关于平面xOz对称，则△MNP的面积为．

难度：中等

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2．如图，在等腰△ABC中，∠A=90°，BC=
2
，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA=1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．

难度：中等

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3．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，BB₁=2，E为BB₁中点，平面AEC₁交DD₁于F，交A₁D₁的延长线于G．
（1）求证：CC₁∥平面FGD₁；
（2）求异面直线BD与AF所成的角的大小．

难度：较难

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4．（已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形且∠ADC=120°，E，F分别是AD，PB的中点且PD=AD
（1）求证：EF∥平面PCD；
（2）若∠PDA=60°，求证：EF⊥BC；
（3）若PD⊥平面ABCD，求二面角A=PB-C的余弦值．

难度：较易

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5．如图，在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=AA₁=1，延长AC至D，使AC=CD，连接BD，B₁D，C₁D．
（1）求证：AC₁⊥B₁D；
（2）求六面体BB₁-A₁ADC₁的体积；
（3）求平面B₁C₁D与平面ABC所成锐二面角的正切值．

难度：中等

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6．已知P是四边形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PD，在四边形ABCD中，BA=AD，BA⊥AD，O是BD的中点，OC=
1
2
OA=
1
3
OP．
（1）求证：PD⊥AC；
（2）求二面角A-PD-C余弦值．

难度：中等

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7．已知2
a
+
b
=（0，-3，-10），
c
=（1，-2，-2），
a
•
c
=4，|
b
|=12，则＜
b
，
c
＞= ．

难度：中等

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8．已知长方体AC₁中，AB=BC=4cm，AA₁=2cm，E，F分别为BB₁和A₁B₁的中点，求：
（1）EF与AD₁所成的角；
（2）AC₁与B₁C所成的角的余弦值．

难度：较易

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9．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面三角形ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分别是A₁B₁、A₁A的中点．
（1）求
BN
的长；
（2）求cos＜
BA1
，
CB1
＞的值．

难度：中等

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10． P为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁对角线BD₁上的一点，且BP=λBD₁（λ∈（0，1）．下面结论：
①AD₁⊥C₁P；
②若BD₁⊥平面PAC，则λ=
1
3
；
③若△PAC为钝角三角形，则λ∈（0，
1
2
）；
④若λ∈（
2
3
，1），则△PAC为锐角三角形．
其中正确的结论为．（写出所有正确结论的序号）

难度：较难

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