知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在四棱锥B-AA₁C₁C中，AA₁C₁C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5．
（Ⅰ）求证：AA₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A₁-BC₁-C的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段上BC₁存在点D，使得AD⊥A₁B，并求
BD
BC1
的值．

难度：中等

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2．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，∠BAC=120°，且AB=AC=AP，M为PB的中点，N在BC上，且BN=
1
3
BC
（1）求证：MN⊥AB
（2）求二面角P-AN-M的余弦值．

难度：中等

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3．在正三角形ABC中，E、F、P分别是-AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，连结A₁B、A₁P（如图2）．

（1）求证：A₁E⊥平面BEP；
（2）求二面角B一A₁P一F的余弦值的大小．

难度：中等

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4．已知斜四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是矩形，侧面CC₁D₁D垂直底面ABCD，BC=2AB=DC₁=2，BD₁=2
3

（1）求证：平面AB₁C₁D⊥平面ABCD
（5）点E是棱BC的中点，求二面角A₁-AE-D的余弦值．

难度：中等

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5．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5．
（1）求证：AA₁⊥平面ABC；
（2）求二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值；
（3）求点C到平面A₁BC₁的距离．

难度：中等

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6．已知ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，AD=1，SA=AB=BC=2．
（Ⅰ）求异面直线AB与SC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求直线SA与平面SCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角A-SD-C的余弦值．

难度：较难

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7．在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=
2
，点E在棱PD上，且PE：ED=2：1．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角P-AE-C的余弦值；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在点F，使得BF∥平面AEC？若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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8．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2，D，E分别为AC，BD的中点，连接AE并延长BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2，所示，
（1）求证：AE⊥平面BCD；
（2）求平面AEF与平面ADC所成的锐角二面角的余弦值；
（3）在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC？若存在，请指出点M的位置；若存在，请指出点M的位置；若不存在，说明理由．

难度：中等

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9．如图，正四棱锥P-ABCD的顶点都在同一球面上，已知ABCD中心为E，球心O在线段PE上，QA⊥底面ABCD，且与球面交于点Q，若球的半径为2．
（Ⅰ）若OE=1，求二面角B-PQ-D的平面角的余弦值；
（Ⅱ）若△QBD是等边三角形，求四棱锥P-ABCD和Q-ABCD公共部分的体积．

难度：较难

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10．已知四边形ABCD为平行四边形，BC⊥平面ABE，AE⊥BE，BE=BC=1，AE=
3
，M为线段AB的中点，N为线段DE的中点，P为线段AE的中点．
（1）求证：MN⊥EA；
（2）求二面角M-NE-A的余弦值．

难度：中等

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