知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，AB是圆O的直径，C是圆O上异于A、B的一个动点，DC垂直于圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB=1，AB=4．
（1）求证：DE⊥平面ACD；
（2）若AC=BC，求平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值．

难度：中等

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2．（2015秋•廊坊期末）如图所示，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，若CD₁垂直于平面ABCD，且CD1=
3
，M是线段AB的中点．
（1）求证：BC⊥AD₁；
（2）设N是线段AC上的一个动点，问当
CN
AC
的值为多少时，可使得D₁N与平面C₁D₁M所成角的正弦值为
1
5
，并证明你的结论．

难度：较难

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3．（2015秋•大连校级期末）已知三棱柱ABC-A′B′C′如图所示，四边形BCC′B′为菱形，∠BCC′=60°，△ABC为等边三角形，面ABC⊥面BCC′B′，E、F分别为棱AB、CC′的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥面A′BC′；
（Ⅱ）求二面角C-AA′-B的大小．

难度：中等

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4．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是棱BC，cc₁上的点，CF=AB=2CE，AB：AD：AA₁=1：2：4．
（1）证明AF⊥平面A₁ED；
（2）求平面A₁ED与平面FED所成的角的余弦值．

难度：中等

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5．如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为6的正方体，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF．
（1）求证：A₁F⊥C₁E；
（2）当A₁、E、F、C₁共面时，求：
①D₁到直线C₁E的距离；
②面A₁DE与面C₁DF所成二面角的余弦值．

难度：中等

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6．如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M、N分别是
CC₁、BC的中点，点P在A₁B₁上，且满足
.
A1P
=λ
.
A1B1
（λ∈R）．
（1）证明：PN⊥AM；
（2）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该最大角的正切值；
（3）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，试确定点P的位置．

难度：中等

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7．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CB=1，CA=
3
，AA₁=3，M为侧棱CC₁上一点，AM⊥BA₁．
（Ⅰ）求证：AM⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求平面ABM与平面AB₁C₁所夹锐角的余弦值．

难度：中等

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8．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=
2
，AF=1，M是线段EF的中点．
（1）求证AM∥平面BDE；
（2）求二面角A-DF-B的大小；
（3）试在线段AC上一点P，使得PF与CD所成的角是60°．

难度：中等

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9．如图，矩形ACFE⊥底面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，且AB∥CD，AB=2AD=2CD=2CF．
（1）求证：BC⊥平面ACFE；
（2）当点M在线段EF上运动时，求平面MAB与平面FCB所成锐二面角余弦的取值范围．

难度：中等

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