知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•河南二模）如图，PA⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD=AE=AP=2．
（Ⅰ）求二面角A-PE-D的余弦值；
（Ⅱ）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．

难度：中等

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2．（2016•洛阳一模）如图1，在边长为4的正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，沿EF将矩形ADFE折起使得二面角A-EF-C的大小为90°（如图2），点G是CD的中点
（1）若M为棱AD上一点，且
AD
=4
MD
，求证：DE⊥平面MFC；
（2）求二面角E-FG-B的余弦值．

难度：中等

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3．（2016•晋中一模）如图，在几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，FB=
10
，M，N分别为EF，AB的中点．
（I）求证：MN∥平面FCB；
（Ⅱ）若直线AF与平面FCB所成的角为30°，求平面MAB与平面FCB所成角的余弦值．

难度：较难

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4．如图几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，∠BCD=120°，CB=CD=CE=1，AB=AD=AE=
3
，且EC⊥BD．
（1）求证：平面BED⊥平面AEC；
（2）M是棱AE的中点，求证：DM∥平面EBC；
（3）求二面角D-BM-C的平面角的余弦值．

难度：较难

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5．如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥DC，点E是AC的中点，点F是线段AD上的动点，AB=BC=2．
（1）若DC∥平面BEF，求
AF
AD
的值；
（2）若EF⊥AD，当平面BEF和平面BCD所成的二面角的余弦值是
2
17
17
时，求CD的长．

难度：中等

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6．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AE⊥平面ABCD，EF∥CD，BC=CD=AE=EF=
1
2
AD=1．
（1）求证：CE∥平面ABF；
（2）在直线BC上是否存在点M，使二面角E-MD-A的大小为
π
3
？若存在，求出CM的长；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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7．在三棱柱PBC-QAD中，侧面ABCD为矩形，PA⊥CD．
（1）求证：平面PAD⊥平面PDC；
（2）若BC=
6
，PB=
2
，PC=2，当三棱锥P-BCD的体积最大时，求二面角A-BP-C的大小．

难度：较难

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8．在圆柱OO₁中，ABCD是其轴截面，EF⊥CD于O₁（如图所示），AB=2，BC=
2
．
（1）设平面BEF与⊙O所在的平面的交线为l，平面ABE与⊙O₁所在的平面的交线为m，证明：l⊥m；
（2）求二面A-BE-F的余弦值．

难度：中等

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9．已知△ABC与△DBC都是边长为
2
3
3
的等边三角形，且平面ABC⊥平面DBC，过点A作PA⊥平面ABC，且AP=2．
（1）求直线PD与平面ABC所成角的大小；
（2）求二面角P-AD-C的余弦值；
（3）在线段PC上是否存在点E，使BE⊥平面ACD，并说明理由．

难度：较难

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10．如图，在四棱锥A-BCPE中，侧面PAC为正三角形，∠ACB=90°，二面角P-AC-B为直二面角，PE∥BC且
PE
CB
=μ（μ＞0），点M，N分别是侧棱AE、AP上的点，且
AM
AE
=
AN
AP
=λ（0＜λ＜1）
（1）若λ=
1
2
，BC=2PC，且异面直线CM与AB所成的角为90°，求实数μ的值；
（2）若平面ABC与平面CMN所成的锐二面角为45°，求实数λ的值．

难度：中等

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