知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•潮州二模）如图，三棱锥O-ABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直且OA=OB=OC=
2
，△ABC为
等边三角形，M为△ABC内部一点，点P在OM的延长线上，且OM=
1
3
MP，PA=PB．
（1）证明：AB⊥平面POC；
（2）求三棱锥A-PBC的体积．

难度：中等

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2．（2016•山西模拟）如图，AB为圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，点C为圆O上的一点．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）若AB=2，BC=
3
AC，PA=AB，点M为PC的中点，求三棱锥B-MOC的体积．

难度：中等

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3．（2016•宁波校级模拟）如图，△ABC中，O是BC的中点，AB=AC，AO=2OC=2，将△BAO沿AO折起，使B点到达B′点．
（Ⅰ）求证：AO⊥平面B′OC；
（Ⅱ）当三棱锥B′-AOC的体积最大时，试问在线段B′A上是否存在一点P，使CP与平面B′OA所成的角的正弦值为
6
3
？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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4．已知四边形ABCD为平行四边形，BD⊥AD，BD=AD，AB=2，四边形ABEF为正方形，且平面ABEF⊥平面ABCD．
（1）求证：BD⊥平面ADF；
（2）若M为CD中点，证明：在线段EF上存在点N，使得MN∥平面ADF，并求出此时三棱锥N-ADF的体积．

难度：中等

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5．（2016•连云港模拟）如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点．
（1）求证：PB∥平面MNC；
（2）若Ac=BC，求证：PA⊥平面MNC．

难度：中等

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6．（2016•嘉兴一模）如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD=DC=DE=4，∠ADC=60°，AD⊥DE
（Ⅰ）求证：DE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角C-AE-D的余弦值的大小．

难度：中等

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7．（2016•洛阳一模）如图1，在边长为4的正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，沿EF将矩形ADFE折起使得二面角A-EF-C的大小为90°（如图2），点G是CD的中点
（1）若M为棱AD上一点，且
AD
=4
MD
，求证：DE⊥平面MFC；
（2）求二面角E-FG-B的余弦值．

难度：中等

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8．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等边三角形，侧棱AA₁⊥平面ABC，AB=2，AA₁=2
3
，D、E分别为AA₁、BC₁的中点．
（1）求证：DE⊥平面BB₁C₁C；
（2）求BC与平面BC₁D所成角；
（3）求三棱锥C-BC₁D的体积．

难度：中等

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9．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=
π
2
，AB=BC=
1
2
AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到图2中△A₁BE的位置，得到四棱锥A₁-BCDE．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面A₁OC；
（Ⅱ）当平面A₁BE⊥平面BCDE时，四棱锥A₁-BCDE的体积为36
2
，求点E到平面A₁CD的距离h的值．

难度：中等

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10．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，AB=2，且FA=FC．
（1）求证：AC⊥平面BDEF；
（2）求三棱锥E-ABD的体积．

难度：中等

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